湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
1
习题一
1．设x>0相对误差为2%
4
x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
(())
(())'()()
()()
f x x
f x f x x
f x f x
δδ
?
=≈得
（1
）()
f x=
11
()()*2%1%
22
x x
δδδ
≈===；
（2）4
()
f x x
=时
44
4
()()'()4()4*2%8%
x
x x x x
x
δδδ
≈===
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1
x =；（2）12.10
x =；（3）12.100
x =。
解：由教材
9
P关于
1212
.
m n
x a a a bb b
=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352
≈21
((0.3197100.245610)0.1352)
fl fl?+?+
=2
(0.3443100.1352)
fl?+
=0.34572
10
?
（2）31.97+（2.456+0.1352）
21
(0.319710(0.245610))
fl fl
≈?+?
= 21
(0.3197100.259110)
fl?+?
=0.34562
10
?
易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122
10
?，故（2）的计算结果较精确。
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
24．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
解：设该正方形的边长为x，面积为2
()
f x x
=，由
(())
(())'()()
()()
f x x
f x f x x
f x f x
δδ
?
=≈
解得
(())()
()
'()
f x f x
x
xf x
δ
δ≈=
2
(())(())
22
f x x f x
x x
δδ
==0.5%
5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？
（1）已知1
x<<，（A）
11
121
x
y
x x
-
=-
++
，（B）
2
2
(12)(1)
x
y
x x
=
++
；
（2）已知1
x>>，（A
）y=，（B
）y=；
（3）已知1
x<<，（A）
2
2sin x
y
x
=，（B）
1cos2x
y
x
-
=；
（4）（A
）9
y=（B
）y=
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。
（3）（A）中2
sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
1515
12
12
1010
2
x x
x x
?+=
?
+=
?
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？
解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
11616
12
111
12
0.100100.100100.10010(1)
0.100100.100100.20010(2)
x x
x x
??+?=?
?
?
?+?=?
??
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
3（1）-（2）得1616
2
.1010.1010x
?=?，即1
2
.1010
x=?，把
2
x的值代入（1）得
1
.00
x=；
把
2
x的值代入（2）得1
1
0.10010
x=?
解
1
1
10.10010
20.00010
x
x
?=?
?
?
=?
??
不满足（2）式，解
1
1
10.10010
20.10010
x
x
?=?
?
?
=?
??
不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数32
()331
f x x x x
=-+-和()((3)3)1 2.19
g x x x x x
=-+-=
在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
解：1
10
657
.0
10
480
.0
3
10
219
.0
10
480
.0
)
19
.2(1
1
1
1-
?
+
?
?
-
?
?
?
=
f
1
10
657
.0
10
144
.0
10
105
.01
2
2-
?
+
?
-
?
=
=1
0.16710
?
=
)
19
.2(g1
10
219
.0
)3
10
219
.0
)
81
.0
((1
1-
?
?
+
?
?
-
1
10
219
.0
10
123
.01
1-
?
?
?
==1
0.16910
?
即1
()0.16710
f x=?，1
()0.16910
g x=?
而当 2.19
x=时32
331
x x x
-+-的精确值为1.6852，故()
g x的算法较正确。
