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第二章 全息技术的理论依据
计算全息是建立在数字计算与现代光学基础上的一种新的制作全息图的技术，传统的全息技术是利用光学的办法，用干涉记录的方法制作全息图。计算全息是用计算机编码制作全息图，把物波的数学描述输入数字计算机处理后，直接产生全息图，代替了用光学设备实地记录，既可以完全节省光源且对光学设备的精度要求不高，又能制作实际并不存在的各种物体的全息图，且噪声低，重复性高，比光学全息具有明显的简易型和灵活性。
2.1 光学全息与计算全息的区别
2.1.1 光学全息
光学全息术是指利用干涉原理，通过引入一个与物光波相干的参考光波与物光波干涉，将物光波中的振幅和相位信息以干涉条纹(干涉图)的形式记录在某种介质上然后再利用光波衍射的原理，通过光波的衍射，再现原始物光波，从而再现原物体的三维像。
它的主要特点是：全息光学元件是一种薄膜系统，所以具有重量轻的优点；由于多个全息图可以记录在同一张底片上，所以可以得到空间重叠的全息光学元件；它的成像特性随波长而变，所以有很大的色差；由于它是衍射光学元件,所以不能同时得到大视场和大出射光瞳；不能单独提供一个系统的功用，比如望远镜全息图不能提供角放大率。
光学全息的实现过程如图2.1所示： 物体
图2.1 光学全息框图
光学全息的优点和不足：光学全息的像全息，反射全息，彩虹全息，复合全息等第三代的全息技术，在一定的条件下使全息图有更加鲜艳的色彩，使光学全息术应用更加广泛，但是光学全息要求在拍摄全息的过程中所用到的光源，各种光学原件，记录介质等要求要保持高度的稳定性，而且想干噪声也比较大，这就制约了全息术更为简单的应用。所以，现在很多的学者开始研究计算全息的记录与再现。 2.1.2 计算全息
一般的全息图都是光学方法制作的。但由于光学全息对原件高稳定的要求和对各种条件苛刻的要求，使得限制了光学全息的广泛应用。随着计算机技术的发展，人们
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记录过程： 干涉 全息图 再现过程： 衍射 图像
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开始想能否利用计算机来制作一个设想中的甚至不存在物体的全息图，由于计算机和绘图仪器的可靠性，使得计算全息的图像得到了保证。其可以根据数学表达式作出全息图并再现。所以计算全息出现之后就受到普遍重视，在很多方面受到越来越多的应用。
计算全息是利用计算机编码制作出全息图，它可以全面的记录光波的相位与振幅，但是其重复率较高，噪声大。其可记录任何物体的全息图，甚至是不存在实际物体的全息图，和光学全息相比，其具有明显的优势
计算全息的实现过程如图2.2所示：
图2.2 计算全息框图
由图2.2可见，从波前再现角度讲，计算全息技术和传统光学全息完全一样：二者最大的不同是全息图的制作过程，其制作过程是我们需要熟悉和了解的主要原理。
2.1.3 计算全息图的生成
计算全息图的制作过程主要有两个步骤，全息面上复振幅分布的确定和将该分布编码于全息图上，其具体过程如下：
第一步的主要目的是根据所需要再现的波物前，给全息图上物波复振幅分布的数学描述，即分布函数的确定。
为便于计算机的处理为便于计算机的处理，该数学描述一般要采用离散的形式。显然，由于在不同的应用场合,从全息面到再现光场的光传播过程用不同的数学公式进行描述(主要有傅立叶变换全息、像全息、菲涅耳全息)，因此上述工作的完成需要考虑不同的限制因素。其中最主要的是限宽(Boundary)问题。下面以傅立叶变换全息为例探讨上述的研究过程。
设f(x,y)为再现的物波前的复振幅：
f?x,y??f（x,y）? (2.1) ex?pi?（x,y） 全息面上的复振幅分布可由傅立叶变换给出：
F（u,v）???f（x,y）?dxd y (2.2) ?FT?f（x,y）exp??i2?（ux,vy） 上式同时也规定了计算傅立叶变换全息的限制条件，即为保证能够再现出不受干扰的物波前，要求F(u,v)必须在有限的范围内不为零。即：
????物体 制作过程： 计算、编码 全息图 再现过程： 衍射、解码 图像
?F?（?Fu,?Fv）；?F?? (2.3) 另外，由于傅立叶变换是由计算机进行的，首先需要对f(x, y)进行抽样，而在上面
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的条件下，当有?x??Fu?1和?y??Fv?1时，由抽样定理可以证明，将f(x, y)表示为如下的离散数学形式时，不会有信息丢失：
f(m ?x,n?y)?f(x,y)comb??x,y?,??x,?y?? (2.4) 我们也用类似的方法在全息面上进行抽样：
F?k?u,I?v??F?u,v?com b??u,v?,??u,?v?? (2.5) 然后, 用数字计算机来进行从f(m，n)到F(k，1)的计算。这就要求抽样点必须是有限的个数。由于?F??，所以在全息面上的抽样点数一定是有限的。而在物平面上，?f??意味着f (m, n)有无限的抽样点。于是，必须进一步要求(m, n)取值有一定
11范围(M, N），即m??M,...,M?1。这在大多数情况下是容易满足的。
22 在实际应用当中，如果限定在全息面上(k,1)的取值范围为(K，L)，则一般令； K = M； L = N
于是，F(K , l)将由下式给出：
1?? F?k，??k?m1?n????fm,nexp-j2????? (2.6) ???N???Mm??Mn??N?22M2?1N2?1 第二步到上述公式计算后，我们已经得到了全息面上的复振幅分布函数：F(u, v)接下来就是要根据该分布确定全息图的精确结构，即在全息图上实现对该分布的编码，构造编码函数。
显然，F(u, v)中包含了f(x, y)(所需再现物光)的信息，因此： T?1?F?u,v???f?x,y? (2.7) 其中T?1表示光学再现的过程，如：傅立叶变换、菲涅尔衍射等。因此，如果用H(u，v)来表示全息图的透过率函数的话，则H(u，v)必然要满足： R?u,v??H?u,v??F?u,v? (2.8) 其中 R(u, v)表示再现时的照明光，在大多数情况下有 R(u, v) = 1。 于是:
H?u,v??F?u,v? (2.9) 由于当前所使用的大多数胶片材料不能同时对光的振幅和位相进行调制。因此，必须将物光的信息编码记录于全息图上。显然，用于编码的函数必须满足，
1. 在全息面上必须是正的实函数。
2. 不损坏物光的原始信息。而上述的F(u,v)在一般情况下为复值函数，所以必须将F(u,v)转变为满足上述要求的G(u,v)。我们称之为编码函数。在构建编码函数时，我们将首先从全息图的微观精细结构入手，寻找可以自由控制的参数(如：在迂回相位型计算全息图的抽样单元中开孔的长宽、位置等)，进而根据实际情况选定其中的两个与 F(u,v)的振幅和相位对应，从而实现从F(u,v)到G(u,v)的变换。
当然，也有例外情况：有一种被称为无参考同轴复式计算全息图(ROACH)的技
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术，就是直接将 F(u,v)记录于一种特殊的胶片上再现物光的。
计算全息图的一般制作过程如图2.3所示：
抽样F(x,y) 量化 绘图 编码 光学缩版 F(u,v) G(u,v) CGH 图2.3 计算全息框图
2.2 计算全息编码技术的分类
当前，从编码函数构造的角度来说，计算全息技术主要有两大类：纯计算编码型和光学模拟型。二者的主要差别是：前者的编码函数是人为构造出来的，后经数学证明和实验验证，可以再现物光。因此这一类全息图是计算全息术所特有的，没有传统的光学全息图与之对应。而后者呢，顾名思义。其编码函数是在研究传统光学全息图透过率函数的基础之上构建起来的，可以说是用计算机来模拟光学记录过程绘制全息图。当然，这不是机械地模拟，而是以原全息图透过率函数为出发点，仔细研究其物理数学本质，进而构造出既便于计算处理又不损失信息的编码函数。因此，这一类全息图往往有传统的光学全息与之对应。以下，我们将以编码函数的构造为重点逐一介绍。
2.2.1 纯计算编码型
纯计算编码型，通过人为构造出来的函数，经过数学验证和实验验证，可以再现物光。这一类的全息图是计算全息图中所特有的。 这一类主要有：迂回相应型和相息图。 1. 迂回相位型计算全息图
所谓迂回相位效应，就是指由于用不固定栅距的光栅来调制入射波前，而导致了在各级衍射方向上，各衍射波面不再是平面波，而产生相位的延迟或着超前。
当栅距错位量为P时，与之对应的相位延迟为：
2?????M?2?Mp (2.10)
d?上式被称为迂回相位。有意思的是，该附加相位的大小与入射波的倾斜角无关，只与错位量P成正比。于是，只要人为控制P 值连续变化，就能够实现对照明光波的相位进行连续调制。
迂回相位型计算全息图，就是根据上述效应而编码制图的。对于傅立叶变换全息图来说，全息面上的复振幅分布已由F(u, v)的离散形式F(m, n)给出。接下来，就是要构建编码函数G(u, v)，并将它记录于全息面上。对于F(m , n)可以表示为复数形式： F?m,n??C?m,n??jD?m,n? (2.11) 对应的振幅和相位分别为:
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A?m,n??C?m,n??D?m,n?22?1??12??m,n??tan?D?m,n?C?m,n?????? (2.12)
上述二式，就是迂回相位全息图的编码函数G(u, v)的离散形式，因为，我们可以直接将二者记录于全息面上。 2. 相息图
相息图是另外一种只能由计算机产生的计算全息图。相息图与一般全息图的不同主要表现为以下两方面：
1) 传统全息技术是依靠胶片的透过率变化来记录光的信息，而相息图却只将光波的相位信息以浮雕形式记录在胶片上。因此，它在制作中包含了光学漂白处理的过程。
2) 传统的全息再现理论都是建立在光的衍射理论基础上，而相息图却依靠菲涅尔透镜那样，只是通过改变光学厚度去变化照射光波的相位分布，从而再现出原始物光波。因此，相息图可以看成是一块由计算机制作的复杂透镜。相息图的制作过程也不外乎以前所讨论的两步。 即，先要计算出全息面上的复振幅分布，再对其进行编码。但由于相息图只能记录物体的相位信息，因此我们规定物波的振幅A为常数(一般为1)。即： f?x,y??A?exp?j??x,y?? (2.13)
这样一来，为了减少由于损失振幅信息而带来的影响。在对物光进行抽样时，我们将使用随机发生器来确定各抽样单元的相位值。之后，运用傅立叶变换或菲涅尔衍射定律，即可计算出全息平面上的复振幅分布F(u, v)。
显然这时的编码函数G(u, v)只与F(u, v)相对应的相位??u,v?有关。具体操作时，将各抽样单元的值对2?取模，并量化为M 个灰度等级进行编码。再将绘制好的图样显示于CRT上，并用照相底片按上述花样进行曝光，最后将底片经漂白处理形成相息图。
前文所提到的无参考同轴复式全息图技术，是一种既记录了相位信息又记录了振幅信息的全息图。它的基本想法是利用特殊的全息照相记录介质(多层乳胶的柯达彩色胶片)。制作时，首先使之对不同的色光进行曝光，之后再使之经漂白处理形成浮雕型全息图。这样，当用单色光照明时，一层乳胶能吸收光能，实现对光振幅的调制，而其他层是透明的浮雕状，可以实现对光相位的调制。 2.2.2 光学模拟型
这一类主要有离轴修正型和二值干涉型计算全息图。 1. 离轴修正型计算全息图
传统的光学技术利用物光和参考光相干涉的方法, 将物光的相位和振幅信息记
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