【详解】（1）证明：因为ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边，所以AB AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，所以AB ⊥平面PAC ．
因为PA ?平面PAC ，所以AB PA ⊥． （2）解：由（1）知AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点， AB ，AC 分别为x ，y 轴的正方向，过点A 平行于PC 的直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
设1PC =，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,2,1P ，()1,1,0E ，
故()2,0,0AB =，()0,2,1AP =，()1,1,0AE =．
设平面PAB 的法向量()111,,n x y z =，则1112020n AB x n AP y z ??==???=+=??
， 令11y =，得()0,1,2n =-．
设平面PAE 的法向量()222,,m x y z =，则2222020
m AE x y m AP y z ??=+=???=+=??， 令21x =，得()1,1,2m =-，则530cos ,56
m n -==-?
- 1 - 由图可知二面角B PA E --为锐角，故二面角B PA E --
【点睛】本题考查了线线垂直的判定，考查了面面垂直的性质，考查了二面角.证明线线垂直时，可利用等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的临边、菱形的对边、线面垂直的性质证明.求二面角的相关问题时，可找到二面角，结合解三角形的知识求解，也可建立空间直角坐标系，结合空间向量求解.
20.已知函数()()sin x f x x ae a =-∈R ．
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；
（2）讨论()f x 在区间ππ,2??-????
上的零点个数． 【答案】（1）20x y ++=．（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出()cos 2x
f x x e '=-，从而可知切线的斜率()01f '=-，由直线的点斜式可求切线方程.
（2）设()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???
，通过导数可探究单调性，再结合()π0g -=，3π04g ??-< ???，π04g ??> ???，π02g ??> ???，可得()g x
函数图像，通过讨论当3π42
a <-
或π42a e ->
，当3π42a e =-
或π42a -=或π20a e -<<
，当3π402
e a -<≤
或ππ24e a --≤<时，结合函数图像，可求零点个数. 【详解】解：（1）因为2a =，所以()sin 2x f x x e =-，所以()cos 2x f x x e '=-，
所以()0022f =-=-，()0121f '=-=-，则2y x +=-，故切线方程为20x y ++=．
（2）令()sin 0x f x x ae =-=，得sin x
x a e =，设()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???，
- 1 - 则()cos sin ππ2x x x g x x e -??'=-≤≤ ??
?，由0x e > 恒成立， 令()0g x '>，得3ππ44x -<<；令()0g x '<，得3ππ4x -≤<-或ππ42x <≤， 则()g x 在3ππ,4?
?--????和ππ,42?? ???上单调递减，在3ππ,44??- ???
上单调递增． 因为()π0g -=，3π43π4
3πsin 3π24042g e e -??- ?????-==-< ???，π
4π4πsin π24042g e e -??==> ???， π2π
2πsin π202g e e -??==> ???．则()g x 的简图为
当3π422a e <-或π422
a ->时，()a g x =无解，即()f x 在区间ππ,2??-????上没有零点； 当3π422a e =-或π422
a -=或π20a e -<<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有且仅有一个零点； 当3π4202e a -<≤或ππ2422
e a --≤<时，()
f x 在区间ππ,2??-????上有两个零点． 综上，当3π422a e <-或π422
a e ->时，()f x 在区间ππ,2??-????上没有零点； 当3π42a =或π42a -=或π20a e -<<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有且仅有一个零点；
- 1 -
当3π40e a <≤
或ππ24e a --≤<时，()f x 在区间ππ,2??-????上有两个零点． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的零点与方程的根，考查了函数单调性的求解，考查了直线方程的求解.本题的难点在于第二问，通过参变分离构造
()sin ππ2x x g x x e ??=-≤≤ ???
.求函数的零点时，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等同于()(),g x h x 图像的交点个数.
21.已知椭圆()2222:1x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且四个顶点构成的四边形的面积是
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过点()2,0P -，且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为
AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F 两点（O 是坐标原点）
，求四边形AEBF 的面积的最小值．
【答案】（1）22
184
x y +=（2）8 【解析】
【分析】
（1
）由离心率可知c a =
，由四边形的面积可知12222a b ab ??==222a b c =+
，从而可求a =2b =，进而可得椭圆的标准方程.
（2）设直线l 的方程为2x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，由韦达定理可得2242,22m M m m ??- ?++??
，从而可求出直线OM 的方程为2m y x =-，与椭圆方程联立，
可求出EF ==A 到直线OM 的距离为d ，则可知
2d =
2d =
- 1 - 122S EF d =?=221122m m +≥+，即可求出面积的最小值. 【详解】解：（1
）由题意可得222
212222
c a
a b ab a b c ?=?????==??=+???
a =2
b =，
故椭圆C 的方程为22
184
x y +=． （2）由l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为2x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立222184x my x y =-???+=??，整理得()
222440m y my +--=，则12242m y y m +=+，12242y y m =-+， 从而()12122842x x m y y m +=+-=-
+，故2242,22m M m m ??- ?++??． 则直线OM 的斜率为2m -，所以直线OM 的方程为2
m y x =-，即20mx y +=． 联立222018
4mx y x y +=???+=??，整理得22162x m =+
，则EF == 设点A 到直线OM 的距离为d ，则点B 到直线OM 的距离也为d ， 从而2d =． 因为点A ，B 在直线OM 的两侧，所以()()1122220mx y mx y ++<，
所以11221122
2222mx y mx y mx y mx y +++=+--，则2d =． 因为1222y y m -==+，所以2d = 则四边形的面积11222S EF d =?=?=
- 1 - 因为2221111222
m m m +=-≥++（当且仅当0m =时，等号成立），
所以8S ≥=，即四边形AEBF 的面积的最小值是8． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中四边形的面积问题.本题的难点在于第二问中，写出四边形面积的表达式.本题的易错点为计算出错.
（二）选考题：
[选修4-4：坐标参与参数方程]
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=??=+?
（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为sin 4πρθ??-
= ???. （1）求C 与l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||
PM PN +的值. 【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2
）
5
. 【解析】
【分析】 （1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||
PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=??
=+?（α为参数）， 所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，
∵直线l
的极坐标方程为sin 4πρθ?
?-= ???
