B.
C.
D. 【答案】A
【解析】
- 1 - 【分析】
设直线MN 所在直线的方程为11y x a =+，设,m a P m a +?? ??
?，()1,0F c -，()2,0F c ，则可得1,m a PF c m a +??=--- ???，2,m a PF c m a +??=-- ???
，从而可求出两向量的数量积的表达式()224
12212a m am a PF PF a ++-?=，由二次函数的性质可求出当21
a m a =-+时，12PF PF ?取得最小值，从而可求2121
a c S a =+；当01a <≤时，12PF PF ?在0m =处取得最大值，此时，2S c =，由212S S =可求出1a =，进而可求离心率的值.
【详解】解：由题意可知(),0M a -，1b =，则直线MN 所在直线的方程为11y x a =+， 因为点P 在线段MN 上，可设,m a P m a +?
? ???
，其中(],0m a ∈-． 设双曲线C 的焦距为2c ，则221c a =+，()1,0F c -，()2,0F c ， 从而1,m a PF c m a +?
?=--- ???，2,m a PF c m a +??=-- ???
， 故()22422221222122a m am a m am a PF PF m c a a
++-++?=-+=． 因为(],0m a ∈-，所以当21
a m a =-+时，12PF PF ?取得最小值， 此时，21221121211a a c S c a a a ????=?-+= ???++?
???． 当212
a a a -
>-+，即1a >时，12PF PF ?无最大值，所以1a >不符合题意； 当212a a a -≤-+，即01a <≤时，12PF PF ?在0m =处取得最大值，此时，2S c =， 因为212S S =，所以2
221
ca c a =?+，解得1a =，符合题意． 综上，1a =，1b =
，c =
C
的离心率c e a
== 故选:A.
- 1 - 【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了向量的数量积，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了二次函数的最值问题.本题的难点在于分析出何时数量积取最值.本题的易错点在于计算.
第Ⅱ卷
二、填空题：将答案填在答题卡中的横线上．
13.已知点()1,2在抛物线2
2y px =上，则该抛物线的焦点坐标为______． 【答案】()1,0
【解析】
【分析】
由()1,2在抛物线上，代入抛物线方程可求出2p =，进而可求出焦点的坐标.
【详解】解：由题意可得24p =，解得2p =，故该抛物线的焦点坐标为()1,0． 故答案为: ()1,0.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，考查了抛物线焦点坐标的求解.
14.若实数x ，y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥??+-≥??-≤?
，则3z x y =-的最小值为__________.
【答案】11-
【解析】
【分析】
根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值.
【详解】如图，可行域为图中阴影部分，
- 1 -
目标函数3z x y =-在点59,22A ?? ???
处取得最小值，5931122z =-?=-. 故答案为：11-. 【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.
15.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______．
【答案】27π
【解析】
【分析】
设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，由题意两个条件可列出关于两个未知数的方程组，进而可求出3r h ==，即可求圆柱的体积.
【详解】解：设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ．由题意可得()22π12π2π22218rh r rh r h ?=?+??+=?
，解得
3r h ==，
则该圆柱的体积是2π27πr h =．
故答案为:27π.
【点睛】本题考查了圆柱体积的求解，考查了圆柱的侧面积.本题的关键是求出圆柱底面圆的半径和高.本题的难点在于轴截面的周长这一条件的理解.
16.若对任意实数(],1x ∈-∞，2211x x ax e
-+≥恒成立，则a =______．
- 1 - 【答案】12
-
【解析】
【分析】 设()()2211x x ax f x x e
-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e
++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥.从而可确定()0g t =，即可求出a 的值.
【详解】解：设()()2211x x ax f x x e -+=≤，则()()()121x x x a f x e
--+????'=． 当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减，
故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102
e a ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()
f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min 21f x f a =+．因为2211x x ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e
++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式
21221a a e ++≥可转化为10t e t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1t g t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，
则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥.因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-
． 故答案为: 12
-. 【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10t
g t e t =--≤恒成立.本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
- 1 - 17.在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）.
（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2）21n n a =-.
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明数列{}1n n a a +-是等比数列；
（2）结合数列{}1n n a a +-的通项公式，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式.
【详解】（1）证明：∵11320n n n a a a +--+=，
∴()112n n n n a a a a +--=-，
又11a =，23a =，2120a a ∴-=≠； ∴11
2n n n n a a a a +--=-（n +∈N ，且2n ≥）， 故数列{}1n n a a +-是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得12n n n a a +-=，
则112n n n a a ---=（n +∈N ，且2n ≥），
故()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+…
12322221n n n ---=+++++…
122112
n
n -==--（n +∈N ，且2n ≥）， 当1n =时，1a 1=满足上式，
∴21n n a =-.
【点睛】本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.
18.某中学有教师400人，其中高中教师240人．为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利
- 1 - 用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在[]0,60分钟内），将统计数据按[)0,10，[)10,20，[)20,30，…，[]50,60分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼．
（1）试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；
（2）从全市高中教师中随机抽取3人，若X 表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量X 的分布列与数学期望．
【答案】（1）176（2）见解析，
310
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图，分别算出初中、高中教师缺乏锻炼的频率，即可计算该校教师中缺乏锻炼的人数； （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，且13,10X B ??~ ???
，分别计算出 ()72901000P X ==，()24311000P X ==，()2721000P X ==，()131000
P X ==，从而可得分布列和数学期望. 【详解】解：（1）由题意可得样本中初中教师缺乏锻炼的频率为()0.0150.020100.35+?=， 样本中高中教师缺乏锻炼的频率为()0.0100.040100.5+?=，
估计该校教师中缺乏锻炼的人数为1600.352400.556120176?+?=+=．
（2）由题意可知高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的频率为0.010100.1?=， 所以高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的概率为110
． X 的可能取值为0，1，2，3，且13,
10X B ??~ ???，
- 1 - 则()20397290101000P
X C ??==?= ???，()2
1319243110101000P X C ??==??= ???， ()2231927210101000P X C ??==??= ???，()333113101000P X C ??==?= ???． X
0 1 2 3 P
7291000 2431000 271000 11000
故72924327130123100010001000100010
EX =?+?+?+?=． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望.本题第二问的关键是分析出13,10X B ??~ ???
.求离散型随机变量分布列的问题时，一般先写出变量的可能取值，然后分别计算每种情况下的概率，即可得到分布列.可借助分布列中概率之和为1来检查分布列是否正确.
19.在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，ABC 是等腰直角三角形，其中BC 为斜边，若把ACD 沿AC 边折叠到ACP △的位置，使平面PAC ⊥平面ABC ．
（1）证明：AB PA ⊥．
（2）若E 为棱BC 的中点，求二面角B PA E --的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
306
- 1 - 【解析】
【分析】
（1）由面面垂直，可知AB ⊥平面PAC ，进而可证AB PA ⊥.
（2）A 为坐标原点，AB ，AC 分别为x ，y 轴的正方向，过点A 平行于PC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设1PC =，即可得()2,0,0AB =，()0,1,1AP =，()1,1,0AE =，从而可求出平面PAB 的法向量()0,1,2n =-，平面PAE 的法向量()1,1,2m =-，进而可求二面角的余弦值.
