- 1 - 2020年420模拟考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =--<，则A B =（ ）．
A. {}12x x -<<
B. 1,0,1,2
C. {}0,1,2
D. {}0,1 【答案】D
【解析】
【分析】 由一元二次不等式的解法可得{}12B x x =-<<，从而可求出A B 【详解】解：依题意得{}12B x x =-<<，则{}0,1A
B =．
故选:D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算.本题的关键是对集合B 进行化简.
2.若复数z 满足()2i 5i z +=，则z =（ ）．
A. 12i -
B. 12i +
C. 12i --
D. 12i -+ 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知5i 2i
z =+，根据复数的除法运算，可选择正确答案. 【详解】解：因为()2i 5i z +=，所以()()225i 2i 5i i 2i 12i 2i 2i z -=
==-=++-． 故选:B.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算.本题的易错点是误把2i 当成1进
- 1 - 行了计算.
3.已知向量(2,23a =，()3,1b =，则向量a ，b 的夹角为（ ）． A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
【答案】A
【解析】
【分析】 由向量的坐标可求出向量的数量积43a b ?=，4a =，2b =，进而可求出向量夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.
【详解】解：因为(2,23a =，(
)3,1b =，
则23a b ?=+=，(224a =+=， (212b =+=
，则43cos ,422a b
a b a b ?=
==?，则向量a ，b 的夹角为π6． 故选:A. 【点睛】本题考查了向量的数量积的求解，考查了向量模的求解，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由坐标求数量积和向量的模.
4.已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ）
A. b c a <<
B. b a c <<
C. a c b <<
D. a b c <<
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较,,a b c 的大小.
【详解】∵3331log log 5lo 392g =<<=，0.2031-<<， 1.233>，
∴b a c <<.
故选：B.
【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.
- 1 - 5.已知角α
的终边上有一点()P ，则3πsin 22α??+
= ???（ ）． A. 13- B. 79- C. 13 D. 79 【答案】C
【解析】
【分析】
由角终边上点的坐标，可求
出cos 3
α=-，结合诱导公式和二倍角公式，可求出3πsin 22α??+ ??
?的值. 【详解】解：由题意
知cos α==，则
23π1sin 2cos 212cos 23ααα??+=-=-= ??
?． 故选:C.
【点睛】本题考查了三角函数值的求解，考查了诱导公式，考查了二倍角公式.本题的易错点
是计算.一般地，若已知角α终边上一点坐标(),P x y ，
则由sin cos tan y x ααα?=????=????=??
可求三角函数值.
6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．
的是（ ）
- 1 -
A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
【答案】B
【解析】
【分析】
通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.
【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3； 乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；
则A ，C ，D 正确，B 错误.
故选：B.
【点睛】本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.
7.函数2()1cos 1x f x x e ?
?=- ?-??
的部分图象大致为（ ）
- 1 - A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断. 【详解】
()21222()1cos()1cos cos 1cos 1111x x x x x x e e f x x x x x e e e e ---??????-=--=-==-- ? ? ?----??????
即()()f x f x -=-，
所以()f x 是奇函数，排除A ，B ；
当02x π
<<时，2101x e
-->-，cos 0x >，则()0f x >，排除C. 故选：D.
【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.
8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知8+=b c ，
()sin 3sin sin b B C c C a A +=，则ABC 的面积的最大值是（ ）．
A. 4
B. 3
C. 8
D. 83【答案】A
【解析】
【分析】 由()
sin 3sin sin b B C c C a A +=，结合正弦定理进行边角互化、余弦定理，可求出1sin 2A =
，由基本不等式可知16bc ≤，从而可求出面积的最大值.
- 1 - 【详解】解：因为()
sin 3sin sin sin b B C c C a A -+=，所以2223b bc c a -+=， 即222
3b c a bc +-=，所以2223cos 2b c a A bc +-==，则1sin 2A =． 因为8+=b c ，所以2162b c bc +??≤= ???
（当且仅当4b c ==时，等号成立）， 故ABC 的面积111sin 164222
S bc A =
≤??=． 故选:A.
【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式.本题的关键是由已知条件，求出sin A 的值.本题的难点是8+=b c 这一条件的应用.
9.如图，P ，Q 是函数()cos()(0,0,0)f x A x A ω?ωπ?=+>>-<<的图象与x 轴的两个相邻交点，(1,2)M 是函数()f x 的图象的一个最高点，若MPQ 是等腰直角三角形，则函数()f x 的解析式是（ ）
A. ()2cos 2
4f x x ππ??=- ??? B. ()2cos 44f x x ππ??=- ??? C. ()2cos 22f x x ππ??=-
??? D. ()2cos 4
2f x x ππ??=- ??? 【答案】B
【解析】
【分析】 通过(1,2)M ，MPQ 是等腰直角三角形，可得||PQ 长度，从而求出周期T ，由T 可得ω得值，再将(1,2)M 代入()f x 计算?的值，最后可得()f x 的解析式.
【详解】由题意可得2A =，
因为MPQ 是等腰直角三角，所以||4PQ =，所以
42T =，即8T =
- 1 - 则24T ππω==，故()2cos 4f x x π???=+ ???
， 将(1,2)M 代入()f x 的解析式得2cos 24π???+= ???
， 可得24k π
?π+=()k ∈Z ， 解得24k π?π=-
+()k ∈Z ， 因为||2?π<，所以4π?=-，则()2cos 4
4f x x ππ??=- ???. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.
10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π 3.1415926=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“3a b -≤”的概率为（ ）． A. 35 B. 815 C. 23 D. 715
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，结合排列组合的思想可算出从中取两个数字总的情况数量，用列举法可知满足3a b -≤的情况数量，从而可求出概率. 【详解】解：由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，共六个，无重复数字. 从中任取两个数字共有2615C =种情况，其中符合条件的有 ()()()()()()()()4,1,4,5,4,2,4,6,1,2,5,2,5,6,9,6 ，共8种．故所求概率815P =． 故选:B.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了组合数的计算.对于古典概型问题，一般用列举法写出所有的基本事件，但是有时结合排列组合的思想会大大减少做题时间.
- 1 - 11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的
外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（ ）．
A. 164π
B. 96π
C. 84π
D. 36π
【答案】D
【解析】
【分析】 由题意先求出底面四边形ABCD 的面积，结合柱体的体积，可求出14AA =，从而可求出四棱柱外接球的半径，即可求球的表面积.
【详解】解：由题意可得ABC 和ACD 都是以AC 为斜边的直角三角形，
因为24AB BC ==
，所以AC =AD CD =
，所以AD CD == 所以四边形ABCD
的面积1142922
S =??+=． 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则1AA S V ?=，即所以13649AA ==，
所以该四棱柱的外接球的半径3R ===，
故该四棱柱的外接球的表面积为24π36πR =．
故选:D.
【点睛】本题考查了柱体体积的计算，考查了外接球问题，考查了球表面积的求解.本题的关键是求出球的半径. 12.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的虚轴的一个顶点为()0,1N ，左顶点为M ，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为线段MN 上的动点，当12
PF PF ?取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，若212S S =，则双曲线C 的离心率为（ ）．
