基本关系式：G Mm r
2＝ma ，式中a 是向心加速度。 (2)常用的关系式：
①G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T
2r ，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
②mg ＝G Mm R
2即gR 2＝GM ，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。
【例2】 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M ，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引
力之比F1
F2＝
G
Mm1
r
2
1
G
Mm2
r22
＝
m1r22
m2r21。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G
Mm
r2＝m?
?
?
?
?
2π
T
2
r
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
r3
GM
则两天体绕太阳的公转周期之比
T1
T2＝
r31
r32。
[答案](1)
m1r22
m2r21(2)
r31
r32
上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？
提示：ω1＜ω2，v1＜v2.
[跟进训练]
3．(天体运动的定性分析)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周
运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a
地
、a
火
，它们沿轨道运行的速率分别
为v
金
、v
地
、v
火
。已知它们的轨道半径R
金
＜R
地
＜R
火
，由此可以判定() A．a金＞a地＞a火B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金
A[金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G
Mm
R2＝ma，解得a＝G
M
R2，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G
Mm
R2＝m
v2
R，解得v＝
GM
R，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v 金
＞v
地
＞v
火
，选项C、D错误。]
4．(天体运动的定量计算)我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的
1
36，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”
数约为(已知月球的运行周期为27天)( )
A ．1
B ．8
C ．16
D ．24
B [根据天体运动公式G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r 31r 32＝T 21T 22
，解得卫星运行的周期为3 h ，故24 h 内看到8次日出，故B 正确。]
双星问题的分析与求解
2019年7月，美国天文学家在最新一期《自然》杂志撰文称，他们发现了迄今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统”——“ZTF J1539＋5027”，这一发现或对研究引力波具有重要意义。
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下，形成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。
(1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？
(2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？
提示：(1)大小相等。
(2)双星做圆周运动的角速度和周期都相同。
图所示。
2．特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
G m 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2
＝m 2ω22r 2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T 1＝T 2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。
3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即
m 1m 2＝r 2r 1
，与星体运动的线速度成正比。
4．几个基本结论(建议自行推导)
(1)轨道半径：r 1＝
m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2
L 。 (2)星体质量：m 1＝4π2r 2L 2
GT 2
m 2＝4π2r 1L 2
GT 2
。 (3)周期：T ＝2πL L G (m 1＋m 2)。 【例3】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A ．质量之积
B ．质量之和
C ．速率之和
D ．各自的自转角速度
[思路点拨] 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。
BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112
s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分
别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L
2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3
G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。]
[跟进训练]
5．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是( )
A ．这两颗恒星的质量必定相等
B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3
GT 2
C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1
D ．必有一颗恒星的质量为4π2R 1(R 1＋R 2)2
GT 2
BCD [对于两星有共同的周期T ，由牛顿第二定律得Gm 1m 2(R 1＋R 2)2
＝m 14π2
T 2R 1＝m 24π2
T
2R 2，所以两星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1，C 正确；由上式可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，D 正确，A 错误；m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3
GT 2
，B 正确。]
1．设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆。已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A ．GM ＝4π2r 3
T
2 B ．GM ＝4π2r 2T 2 C ．GM ＝4π2r 2
T 3 D ．GM ＝4πr 3T
2 A [本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。
对行星有GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r 3
T
2，选项A 正确。] 2．土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km ，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，则土星的质量约为
( )
A ．5×1017 kg
B ．5×1026 kg
C ．7×1033 kg
D ．4×1036 kg
B [卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设
土星质量为M ，则有GMm R 2＝m 4π2T 2R ，解得M ＝4π2R 3
GT 2
，代入数据计算可得M ＝4×3.142×(1.2×106×103)3
6.67×10－11×(16×24×3 600)
2 kg ≈5×1026 kg ，故B 正确，A 、C 、D 错误。] 3．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A ．测定飞船的运行周期
B ．测定飞船的环绕半径
C ．测定行星的体积
D ．测定飞船的运行速度
A [取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT
2，故A 正确。]
4．(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O 做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知( )
A ．甲、乙的线速度大小之比为7∶1
B ．甲、乙的向心力大小之比为1∶1
C ．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7
D ．甲、乙的周期之比为1∶7
BC [作为双星系统，甲、乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得mω2r ＝Mω2R ，甲、乙质量比为7∶1，所以甲、乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v ＝ωr 可知，线速度之比为1∶7，故A 错误，C 正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力大小相等，故B 正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D 错误。]
5．情境：在不久的将来，人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚，一个体重(连同装备)为200 kg 的旅行者，在航行到离地球表面等于地球半径高度处。
问题：若已知地球表面的重力加速度为10 m/s 2，月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14
，求： (1)此时旅行者所受的地球引力是多少？
(2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少？
[解析] (1)设地球的质量为M ，半径为R ，
旅行者在地面所受引力
F 1＝
G Mm R 2＝mg ＝200×10 N ＝2 000 N 旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力
F 2＝
G Mm (R ＋R )2
＝G Mm 4R 2＝14mg ＝500 N 。 (2)旅行者在月球表面所受引力
