3.万有引力理论的成就
学习目标：1.[物理观念]理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.[科学思维]理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。 3.[科学态度与责任]认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。
阅读本节教材，回答第55页“问题”并梳理必要知识点。
教材第55页“问题”提示：利用GMm R 2＝mg 得M ＝R 2g G ，g 为地球表面重力加速度，R 为地球半径，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，代入数据可以算出地球的质量。
一、“称量”地球的质量
1．合理假设：不考虑地球自转。
2．“称量”依据：地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的
引力，即mg ＝G mm 地R 2，由此可解得m 地＝gR 2G 。 卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。
二、计算天体质量
1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引
力提供，列出方程G mm 太r 2＝m 4π2r T 2，由此可解得m 太＝4π2r 3
GT 2
。 这种方法我们称之为“rT ”法(小r 大T 法，小r 是行星轨道的半径，大T 是行星的公转周期)。
质量。
3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期
T 和轨道半径r ，就可计算出行星的质量m 行＝4π2r 3
GT 2
。 三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。(×)
(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)
(3)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。(√)
(4)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。(×)
2．下列说法正确的是()
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
D[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D 正确。]
3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有()
A．月球的质量B．地球的质量
C ．地球的半径
D ．地球的密度 B [由天体运动规律知G Mm R 2＝m 4π2T 2R 可得地球质量M ＝4π2R 3
GT 2
，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确。]
计算天体的质量与密度
(教师用书独具) 教材第56页“思考与讨论”答案提示：G Mm r 2＝m 4π2
T 2r ，M ＝4π2r 3
GT 2
，T 为地球绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量，换用其他行星的相关数据计算，结果相近。因为各行星以太阳为中心天体，有r 3地T 2地＝r 3行T 2行
＝k ，k 为定值，可知估算结果相似。
(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量G 、地球绕太阳运动的周期T 和轨道半径r ，可以计算出地球的质量吗？
(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？
提示：(1)不可以。
(2)万有引力常量G 、太阳半径R 、地球绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 。
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R 及其表面的重力加速度g ，根据在天体表面上物
体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G Mm R
2，解得天体的质量为M ＝gR 2
G ，g 、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度
由mg ＝G Mm R 2和M ＝ρ·4πR 33，得ρ＝3g 4πGR
。 (2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R ，环绕天体的运转周期T ，轨道半径r ，则可得G Mm r
2＝m 4π2T 2r ，中心天体质量M ＝ρ·43πR 3，联立可得ρ＝3πr 3
GT 2R
3。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r 可认为等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2
。 【例1】 (多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L 。已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。则下列说法正确的是( )
A ．月球表面的重力加速度g 月＝2h v 20L
2 B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 20GL 2
C ．月球的自转周期T ＝2πR v 0
D ．月球的平均密度ρ＝3h v 202πGL 2
AB [根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2，联立解得g 月＝2h v 20L
2，选项A 正确；由mg 月＝G mm 月R 2解得m 月＝2hR 2v 20GL 2
，选项B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m 月43
πR 3＝3h v 202πGL 2R ，选项D 错误。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r 和运行周期T ，求得M ＝4π2r 3
GT 2
是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R 表示，轨道半径用r 表示，这样就
可以避免如ρ＝3πr 3
GT 2R
3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r 才可以认为等于天体半径R 。
[跟进训练]
1．(计算中心天体质量)中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G ，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是( )
A ．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期
B ．卫星绕金星表面附近运动时的线速度
C ．金星的半径和金星表面的重力加速度
D ．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期
C [行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有G Mm 金r
2＝m 金4π2r T 2，可得太阳的质量表达式为M ＝4π2r 3
GT 2
，而金星的质量m 金在等式中已消掉，故A 、D 错误；由G m 金m 卫R
2＝m 卫v 2R ，可得m 金＝v 2R G ，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B 错误；在金星表面时，质量为m 的物体所受重力与金星对其
的万有引力相等，则mg ＝G m 金m R 2，得m 金＝gR 2
G ，若已知金星的半径与金星表面的
重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。]
2．(计算天体的密度)我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ(
弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是()
A．
3t2θ
4πGs3R3B．
3s3
4πθGt2R3
C．
4θπR3Gt2
3s3D．
4πR3Gs3
3θt2
B[该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝
s
t，ω＝
θ
t，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝
v
ω＝
s
θ。根据万有引力提供向心力，有G
Mm
r2＝m
v2
r，得月球的质量为M＝
v2r
G＝
s3
Gt2θ，又因为月球的体积为V＝
4
3
πR3，所以月球的密度ρ＝
M
V＝
s3
Gt2θ
4
3
πR3
＝
3s3
4πθGt2R3，故B正确。]
天体运动的分析与计算如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。
(1)由G Mm r
2＝m v 2r 得v ＝GM r ，r 越大，天体的v 越小。 (2)由G Mm r
2＝mω2r 得ω＝GM r 3，r 越大，天体的ω越小。 (3)由G Mm r 2＝m ? ??
??2πT 2r 得T ＝2πr 3
GM ，r 越大，天体的T 越大。 (4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GM r
2，r 越大，天体的a n 越小。 2．天体运动的定量计算
(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立
