所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，
所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ?平面11ABB A ，1PB ?平面11ABB A ，
所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分
（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ?面11ABB A ，
所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥，
面11
ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ?平面， 所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分
又因为1A B ?面11ABB A ，
所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，
连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，
所以11AB A B ⊥，
又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ?面1AB N ， 所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ?面1AB N ，
所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分
17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ， 在AOE ?中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，
…………………………………………………………2分
在ABD ?中，sin 20cos sin BD AB θθθ=?=?，
…………………………………………………………4分 所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=?π?? 2400sin cos θθ=π，(0)2
πθ<< ……………………6分 （2）要使侧面积最大，由（1）得：
23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<<
则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：33
x = D θ A B C O E
（第161A 1B N M 1C C
B A
P
8 / 13 当3(0,
)3x ∈时，()0f x '>，当3(,1)3
x ∈时，()0f x '< 所以()f x 在区间3(0,)3上单调递增，在区间3(,1)3
上单调递减， 所以()f x 在33
x =时取得极大值，也是最大值； 所以当3sin 3θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分 此时等腰三角形的腰长22320620cos 201sin 201(
)33AB θθ==-=-= 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为
206cm 3
．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22
121914c a a b ?=????+=??……………2分 解之得：23
a b =???=??，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分
（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2
B --， 此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,4
3x y x y --=???+=??，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分 故1(1)7133
17
BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，
直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22
143
x y +=，得 22200
00(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552C x x x -=
-，…………………12分
又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以0000
3(1)152C c y y y x x x -=-=--，
9 / 13 同理，D 点坐标为0085(
52x x ++，00
3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000
335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153
k k =． ………………………………………………………16分 19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞ 当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x
-+'=+-
=………………………………………………2分 所以当102
x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>， 所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2
+∞单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24
，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==- 所以21121212
1(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122
a x x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 2
22221ln 20(*)424
a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则2323
1121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>
所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 00000
1()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-
+-，则211()220G x x x x
'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G
所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分
10 / 13 又当2a x e +=时2
22421()ln 2424
a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e
+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；
即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x
'=--< 所以12(0,1)y x x
=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分
20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),
所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，
即1122(2)n n n n a a a a +--=-，
所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，
得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以1
2n n b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分
（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），
当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得
12q q +=+λμ， ①
当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得
2213q q q q ++=+λμ， ②
当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得
233214+q q q q q ++=+λμ， ③
②-①?q ，得21q =λ ，
③-②?q ，得31q =λ ，
解得1,1 q ==λ．
代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，
所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，
故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分
（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，
又32+=λμ，解得112
==，λμ．…………………………………………………12分
11 / 13 由12a =，23a =，
1
2λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=
+，得1112n n n n S a a +++=+， 两式相减得：111122
n n n n n n n a a a a a ++-+=-+- 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=
所以21(1)20n n n na n a a ++---=
相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=
所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+= 所以2
21111-222(2)(2)(2)(1)
n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1
321(2)(2)(1)2
n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，
即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，
又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆， 所以BD BE BA BF ?=?． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，
所以AB AC AE AF
=，即AB AF AE AC ?=?， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ?-?=?-?=?-=． …………10分
B ．因为411041230123M BA -??????===??????--??????
， ………………………………………5分 所以13110101
255M -??-??=????-????
． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+??=-?
化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，
即22(1)(1)2x y ++-=． (6)
分
12 / 13 圆心C 到直线l 的距离2
22d ==，
所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分
D ．证明：因为2222
[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d
++++++++++++++ 2(1111)1111a b c d a b c d a b c d
+?++?++?++?++++≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分
