第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'
'
'
'
'E
D
C
B
A
ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'
AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于O。画直观图时，把它们画成
1 / 1
1 / 1
对应的'x 轴与'y 轴，两轴交于点'O ，且使'
''45(135)x O y ∠=??或，它们确定的平面表示水平面。
（2）.已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或'y 轴的线段；
（3）.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=
4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=
5 球的表面积24R S π=
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积h S V ?=底
2锥体的体积h S V ?=
底31 3台体的体积h S S S S V ?++=)31下下上上（ 4球体的体积
33
4R V π=
基础练习
1选择题
1．如图的组合体的结构特征是()
222r
rl S ππ+=
A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台
[答案]C
2．有下列命题：
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案]B
3．(2013～2014·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()
[答案]A
4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()
A．(1)(2)B．(1)(3)
C．(1)(4)D．(1)(5)
[答案]D
5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是() A．3π B．33π C．6π D．9π
1 / 1
1 / 1 解析：设圆锥底面半径为R ，
∴12
·2R ·3R ＝3，∴R ＝1，母线l 长为2， ∴S 全＝πR 2＋πRl ＝π＋2π＝3π.
答案：A
6．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是()
A ．6 3
B ．36
C ．11
D ．12
解析：设长方体长、宽、高分别为a ，b ，c ，不妨设ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.
答案：A
7．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()
A ．V 1 B ．V 1 C ．V 2 D ．V 2 答案：C 8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是() A ．1∶3 B ．1∶(3－1) C ．1∶9 D.3∶2 解析：由题意可知， 截面面积与底面面积之比为1∶3， ∴截面半径与底面半径之比为1∶3， ∴这两段母线长之比为1∶3－1. 答案：B 1 / 1 二、填空题 1．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________． [答案]圆柱 2．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是________(填序号)． [答案]④ 3．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC 和AD 分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF 、PQ ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________． 解析：三个几何体都是棱柱． 答案：3 4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________． 解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形， ∴S 表＝3×(2×1)＋2×??? ?34×2 2 ＝6 ＋ 2 3. 1 / 1 答案：6＋23 5．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π cm ，高为2 cm ，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm(结果保留根式)． 答案：22 6．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，圆台的表面积是（） 分析：由题目可获取以下主要信息： ①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积； ②上、下底面面积易得，主要求侧面积． 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积． 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C ，因为扇环的圆心角是180°， 故C ＝π·SA ＝2π×10， ∴SA ＝20， 同理可得SB ＝40， ∴AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2. 1 / 1 7 .如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，圆柱的表面积为（） 解析：圆锥高h ＝42－22＝23，画轴截面积图(如右图)，则323 ＝2－x 2.故圆锥内接圆柱的底半径x ＝1. 则圆柱的表面积 S ＝2π×12＋2π×1×3＝(2＋23)π. 答案：(2＋2 3 )π 强化提升 一选择题 1．在棱柱中() A ．只有两个面平行 B ．所有的棱都平行 C ．所有的面都是平行四边形 D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行 [答案]D 2．下列命题中，正确的是() A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 [答案]D 3．(2012－2013· 嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是() A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4) [答案]B [解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同 [解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．4．下列说法不正确的是() A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
