12
AD ，△ACM 是等边三角形． 又因为AE ＝12AD ，所以FM ＝EA ． 又因为CM ＝CA ，∠CMF ＝∠CAE ＝30°，所以△CMF ≌△CAE ． 所以∠MCF ＝∠ACE ，CF ＝CE ．
所以∠ECF ＝∠ACM ＝60°．所以△CEF 是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点F 落在BC 边上时，点H 与点C 重合．
图6 图7
如图8，图9，点E 落在BC 边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC ．
图8 图9 图10 图11
例2 2014年长沙市中考第26题
如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)
和1)16
两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；
（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；
（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在三种情况．
思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．
2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的．
满分解答
（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．
将1)16代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14
a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =
，设点P 的坐标为21(,)4x x ．
已知A (0, 2)，所以PA =214
x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214
x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．
（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．
在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．
所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．
等腰△AMN 存在三种情况：
①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．
图2 图3
②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝
此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444
x ===+
③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+
图4 图5
考点伸展
如果点P 在抛物线214
y x =
上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为： 设点P 的坐标为21(,)4
x x ．
已知B (0, 1)，所以2114
PB x ==+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114
x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以
315
tan5
44
ED CD C
=?∠=?=，
25
4
EC=．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以
4
3
PM DM
QN DN
==．所以
3
4
QN PM
=，
4
3
PM QN
=．
图2 图3 图4
①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444
CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5． 此时31544QN PM =
=．所以1531444
CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ． 由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．
因此△PDF ∽△CDQ ．
当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．
①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333
BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488-
=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366
BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展
如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256
BP =．
例4 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．拖动点M 在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M 有1次机会落在AC 的垂直平分线上；点A 有2次机会落在MC 的垂直平分线上；点C 有2次机会落在MA 的垂直平分线上，但是有1次M 、A 、C 三点共线．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，
代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．
当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．
设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO
=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=．
此时点M的坐标为或(1,)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例5 2012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验
