设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO
=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2
． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．
由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF
=，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m
+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)． 由'CO BF CE BF =
4m BF +=
．所以BF =． 由2BC CE BF =?
，得2(2)m += 整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，
由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF
=，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m
+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2
，2)BF m =+．
由2BC BE BF =?
，得2(2)2)m m +=+
．解得2m =±
综合①、②，符合题意的m
为2+
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；
（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；
（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =
-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-?3==+-，由此得到
1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484
y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()38
4x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得12
6,8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t
∠==-，所以345t t =-．解得207t =．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以
A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． ,
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△P AM 与△OAC 相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为
)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2
1-=a ．所以抛物线的解析式为22
521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．
如果2==CO
AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2
14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）． ②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=
x x PM ，4-=x AM ． 解方程24
)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程2
14)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)
4)(1(21=---x
x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程2
14)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=
x y ． 设点D 的横坐标为m )41(< 521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22 12+-=． 因此4)221(212?+-=?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）． 图5 图6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积． 设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(< 42)4(2 1)2(214)22(21++-=--+-?+= n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF． （1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB、BD的长； （2）如图1，求证：HF＝EF． （3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△F AE与△FDH 保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状． 思路点拨 1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边． 2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了． 满分解答 （1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝AB＝ 在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH DH＝1，AD＝2． 在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝BD＝ （2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°， ∠DAH＝30°． 在Rt△ADE中，AE＝1 2 AD．在Rt△ADH中，DH＝ 1 2 AD．所以AE＝DH． 因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以F A＝FD，∠F AD＝∠FDA．所以∠F AE＝∠FDH．所以△F AE≌△FDH．所以EF＝HF． 图3 图4 图5 （3）如图5，作FM ⊥AB 于M ，联结CM ． 由FM //DA ，F 是DB 的中点，得M 是AB 的中点． 因此FM ＝
