一般模型的重构有两类方法。一种是对整个炉缸炉底的结构作离散，边界改变时，把相关的单元和节点作变形处理，以适应边界改变后的情况，这种方法在计算中单元和节点数目保持不变，但单元变形中会出现单元的协调性不好导致计算精度降低的问题，对不同物性区域的适应性处理也较为麻烦。另一种方法是，边界改变时先标记各种材料区域和物性，再按一定规则重新划分网格作离散，这样网格单元和节点数目是不固定的，能保证网格单元的均匀性和保有原来的计算精度。显然后
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64 一种方法较好，BFTPAS 技术采用的就是这种边界移动后模型重构方法。
侵蚀边界移动也就是侵蚀边界的动态修改，涉及移动的方向和移动步长量。边界的第一次移动需要给出初始移动步长，这个步长应根据设定的核定精度、炉缸的结构和有限元模型的单元尺寸综合来确定。经多座高炉实际计算，一般取初始移动步长为20~40mm 。
边界的移动方向。当核定参数的模型值小于实测值时，说明实际1150℃在当前的边界之外，新的边界应该向炉缸炉底的冷端移动；反之应向热端移动。当温度核定值指标远大于核定精度时，表明当前的1150℃边界和实际的1150℃边界有较大距离，若仍按初始步长作移动，计算次数增加。这时可采用加速移动，即“跨大步”方式进行，反之作小步长移动。这便是变步长移动，连续使用就实现了变步长加速逼近1150℃边界。边界的移动通过先移动边界上的顶点，再拟合成曲线来实现。
当核定精度和步长相互不适应时，会出现振荡的情况，需要进行识别和处理。若不修改核定精度，首先识别发生振荡的位置，改用较小的步长继续搜索。
模型重构和边界移动算法实现二维侵蚀计算的核心。模型重构的核心是保证计算区域离散后网格协调性好，计算精度高。边界移动算法的核心是在保证收敛和稳定的前提下具有高的计算效率。
边界的动态修改，最基础的实现方法是变步长逐步逼近法。拟牛顿法、共轭方向法等最为常用。下面讨论边界动态修改的算法并给出主元素拟牛顿法的计算格式。
4.4.3边界移动的算法
(1)计算格式
建立炉缸炉底传热计算模型，先给定(,)(1,2,,)i i S x y i N =拟合一条初始侵蚀边界，给定内外边界条件，由传热方程(2-3)或式(2-4)完成计算，提取核定参数i P ，再计算函数值i f 或目标函数g(S )，若不满足收敛终止条件，修改(,)i i S x y 继续计算，直到满足收敛终止条件。其循环搜索计算路径为
1k k k k S S d α+=+ (4-4)
式中，αk 为步长，d k 为搜索方向，k 为计算步次。
(2)搜索路径的选择
解非线性方程组(4-1)或无约束最优化问题(4-2)的方法有多种，如牛顿法、最速下降法、共轭梯度法、坐标轮换法等。对于函数f i 和g (R )无法直接求导的问题，都采用逐步线性化或逐步二次型化的逼近计算。计算中关于步长αk 和搜索方向d k 的构造各有不同，但均需要计算方程的的函数值、一阶偏导数和二阶偏导数。
炉缸内衬传热方程及其导数均无显式解，计算函数值需要做数值计算且每次计算规模大时间长，导数则需要用相邻步的函数值作差商近似。因此内衬侵蚀分析的较好算法应是尽量减少函数值正解数值计算的次数。
在最速下降法和共轭梯度法中，需要对作极小化，即
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65 min ()k k k f S d α+ (4-5)
以求得最佳搜索步长。虽然由最佳搜索步长可使总迭代步减小，但由于在确定最佳步长时需要多次搜索计算，而搜索计算中需要多次计算函数值这样反而使整体算法效率不高。传统的坐标轮换法中，固定其他变量对1个变量逐次遍历轮换搜索，导致函数值计算次数也很多，整体计算效率也不高。
下面以牛顿法为例，结合内衬传热特点分析减少函数值计算次数的可能性。 牛顿法的搜索路径格式为
11[]()k k k S S J f S +-=- (4-6)
式中，1[]J -为雅可比矩阵[J]的逆矩阵，
121111222
212[]N N N N N N N N
f f f r r r f f f r r r J f f f r r r ???????????????????????=?????????????????? 对于不能直接求函数导数的问题，导数需要用差商近似，每步计算矩阵[J ]，函数值计算次数为N 2次，计算满元素矩阵的逆矩阵也影响计算效率。
在轴截面、横截面内衬侵蚀边界计算中，I 、II 级技术模型的核定参数P i 是测温点温度，III 级技术模型的核定参数P i 是冷却壁热流量。
炉缸横截面内衬侵蚀后内衬厚度呈条带封闭环型，轴截面内衬呈非封闭的条带型，当前核定参数位置热端的侵蚀位置主要由当前点核定参数和相邻核定参数的数值相关，较远的核定参数对当前侵蚀位置影响小，这样雅可比矩阵可以作简化。若考虑当前位置与左右相邻的4个核定参数点有关，[J ]简化为5对角阵，每步正解计算函数值5N 次；考虑相邻的2个时，[J ]简化为3对角阵，每步计算函数值3N 次；当只考虑当前点时，[J ]化为主对角阵，只计算N 次函数值，这样可减小数值正解的次数。
由式(4-6)，采用主对角形式的雅可比矩阵，搜索路径格式为
111()k k k k i i i i k k i i
f S S S f f +--=--(1,2,,)i N = (4-7) 实际计算中可采用同时改变各自侵蚀位置，作1次正解计算，分别计算各自的偏差，进一步减少数值正解函数值次数来提高计算效率。这种方法可由非线性方程组拟牛顿方程的Broyden 解法中取主元素推得[13]，因此该法可称为主元素拟牛顿法。
按这种主元素拟牛顿法实际计算中发现，由于忽略了相邻点的参数量对当前侵蚀边界的修正作用，其收敛速度略有降低，有时会导致震荡不收敛。当出现震荡的
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情况时，改用逐步缩小步长的办法，便可消除这种情况。尽管主元素拟牛顿法有时会出现这种情况，由于函数值数值正解的次数降低到了最少，故总体上是高效率的。
(3)实例计算
某高炉第2段冷却壁24块，冷却壁厚120mm ，高1400mm ，单块冷却壁蛇形水管3弯，水管尺寸外径45mm ，壁厚6mm 。碳砖外半径4000mm ，碳砖设计厚度700mm 。碳砖导热系数为非定常(表4-1)。单根水管水流量 1.6 kg/s ，某时段冷却壁水温差列入表2中。取碳砖外表面对流传热系数为40W/m.℃，冷却水平均温度25℃。
表4-1碳砖材料导热系数
温度/℃ 25 300 900 1200 数值
3.05
6.84
8.12
9.18
写计算程序。初始边界取为碳砖设计厚度中点，按半径和圆周角表示侵蚀边界，即0i r =3650 mm ，极角360(1)/i i N θ=?-，(i =1,2,…,N )。取初始值搜索步长40mm ，以式(4-3.2)前后两步次符号相反或式(4-3.3)相对偏差小于10%作为初始值搜索条件。计算6步获得初始值，再经3步主元素拟牛顿法计算，冷却壁热流量均方根减小到0.0085kW ，冷却壁热流量最大相对差0.68%，表4-2。侵蚀形貌见图4-3。
本例中冷却壁块数N =24。若采用完备雅可比矩阵，每获得1步的雅可比矩阵需要函数值N 2=576次，起步需要2次，牛顿迭代最小计算次数2，函数值计算总次数为4N 2=2304。若采用3主对角雅可比矩阵，每获得1步的雅可比矩阵需要计算函数值3N =72次，最少总计算次数为288次。本例中按主元素拟牛顿法计算9达到收敛终止条件，计算效率较高且满足在线分析的要求。
经改变冷却壁水温差模拟侵蚀有较大不均匀的情况作数值试验，主元素拟牛顿法计算格式仍然稳定有效。
1 2
3
4
5
6
12 11
10 9 8
7
13 14
15
16
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18
19
20
21
22
23
24 R 4000
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No 水温差/℃
热流量/ kW
内衬厚度/mm
实测值 计算值 相对差/%
1 2.5 16.800 16.819 -0.11 488.08
2 2.8 18.816 18.792 0.1
3 370.70 3 2.7 18.14
4 18.187 -0.24 436.42 4 2.8 18.816 18.788 0.1
5 365.81 5 2.3 15.45
6 15.516 -0.39 542.00 6 2.3 15.456 15.438 0.12 506.93
7 2.5 16.800 16.830 -0.1
8 464.07 8 2.7 18.144 18.141 0.02 398.02
9 2.6 17.472 17.521 -0.28 455.48 10 2.8 18.816 18.914 -0.52 370.61 11 2.6 17.472 17.591 -0.68 449.72 12 2.6 17.472 17.462 0.06 418.79 13 2.4 16.128 16.096 0.20 503.84 14 2.5 16.800 16.785 0.09 453.36 15 2.8 18.816 18.825 -0.05 412.68 16 3.2 21.504 21.458 0.21 295.41 17 2.5 16.800 16.838 -0.23 499.70 18 2.5 16.800 16.798 0.01 441.14 19 2.6 17.472 17.510 -0.21 463.18 20 3.1 20.832 20.824 0.04 313.17 21 2.7 18.144 18.161 -0.09 434.21 22 2.5 16.800 16.786 0.08 448.44 23 2.4 16.128 16.137 -0.06 506.31 24
2.6
17.472 17.449
0.13
411.87
4.5 参数不充分条件下的炉缸侵蚀边界计算
如图4-4所示，炉缸轴截面1~3段冷却壁，实测冷却壁热流量，炉底有两个测温点，可用轴截面III 级+炉底II 级的IV 级组合模型计算。
图4-4 轴截面III 级+炉底II 级的IV 级组合模型
冷却壁 热流量Q 2T 冷却壁
热流量Q 3T 冷却壁 热流量Q 1T
1
2
3
4 5 6 7 最危险 内衬形状 测温点
顶点
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若实测得到了某一方位上第1~3段冷却壁的水温差，通过计算热流密度，引入冷却条件，用一维模型计算侵蚀得到各自的热端内衬的平均侵蚀量或平均剩余厚度。当第2段热流密度大时，其侵蚀热端内衬的平均侵蚀量大，但不能确定内衬的最大侵蚀量或最小剩余厚度。由于只有2段冷却壁整体热流量，而没有第2段冷却壁高度上的热负荷分布数据，该冷却壁前端的侵蚀边界形貌则无法准确给出。
