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59 4炉缸内衬侵蚀二维逆解法
炉缸炉底内衬的设计内型近似为绕高炉纵轴线的旋转曲面，服役高炉的内衬被逐步侵蚀形成后变成不规则的曲面，严格地其传热为三维空间形态。在某个轴截面上其内衬侵蚀边界为自炉缸上部、炉角到炉底中心的一条平面曲线；在炉缸的水平横截面上是一条封闭的平面曲线。在轴截面内，若不考虑环向传热用轴对称二维传热方程来描述其传热，在炉缸横截面内若不考虑纵向（轴向）传热用平面二维传热方程来描述其传热，这便是两个可用来作侵蚀计算的二维传热模型。利用第2章所述的炉缸炉底热工测量条件来确定轴、横截面内的侵蚀边界即为内衬侵蚀二维逆解法。
4.1二维逆解的基本原理
二维侵蚀计算模型使用二维传热方程。在柱坐标系O rz -中轴截面二维传热方程为式(2-3)，即
1()()0r y T T k T r k T r r r z z ????????+= ? ?????????
(2-3) 式中，r 为半径坐标，z 为纵向坐标。
在极坐标系O r θ-和平面直角坐标系O xy -横截面二维传热方程为式(2-4)，即
0)(1)(=??
? ??????+??? ??????θθθT T k r r T r T k r r (2-4.1)
0)()(=???
? ??????+??? ??????y T T k y x T T k x y x (2-4.2) 式中，r 为半径坐标，θ为环向坐标；x 、y 分别为平面直角坐标。
二维侵蚀计算原理如图4-1所示。对某一时刻的炉缸炉底内衬结构，存在一个对应的实际的物理温度场T Ω。对于具有第1类、第2类热工测量条件的炉缸，这个实际的温度场由设置在内衬中的热电偶温度反映，也可以说，测温点温度能描述这个物理温度场，其描述的精度或准确性与热电偶的数目、分布有关。假定1150℃等温线位于内衬中，计算中先假定1150℃等温线位置，计算得到一个模型温度场C Ω。若T Ω和C Ω两者相同，设定的1150℃等温线S C1150就是实际的1150℃等温线S T1150。由于测温点呈离散的分布型，实际计算中用这些离散的测温点的计算温度和实测温度的一致性来判定两个温度场的一致性，即T i T =T i C (i =1,2,…,N )，N 为参加核定的测温点数目。对于具有第3类热工测量条件的炉缸，这个实际的温度场由热负荷反映，其精度
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60 或准确性与热负荷测量的部位、作用面积等有关。计算中内衬中的1150℃等温线由
图4-1 二维侵蚀分析I 、II 级模型的计算原理
上述原理的数学描述如下：设侵蚀边界曲线为S ，其上温度1150℃，其定解非线性方程组为
()0(1,2,,i i iT f P S P i N =-==) (4-1)
也可归为目标函数g (S )的无约束最优化问题
[]2
1min ()min ()N i iT i g S P S P ==-∑ (4-2)
式中，参数P i ，P iT 分别为温度或热负荷的模型计算值和实测值；N 为参与侵蚀边界曲线一致性判断(核定)的参数数目。
模型参数P i 由求解传热方程(2-3，2-4)获得。由此，构造侵蚀边界曲线的计算流程：(i)给定炉缸结构参数，材料导热系数，实测参数值；
(ii)给定初始侵蚀边界曲线；
(iii)建立传热数值计算模型，作数值传热正解计算；
(iv)提取模型参数P i ；
(v)作收敛性判断。
若收敛，终止计算，输出侵蚀边界曲线数据，绘制侵蚀形貌。否则，修改边界曲线，转入(iii)，继续循环计算，直到满足收敛性判断条件(4.3)。
一般，收敛性判断条件(侵蚀边界核定条件)为
1e ≤ (4-3.1)
2||i iT P P e -≤（i =1,2, …,N ） (4-3.2)
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61 3||100i iT iT
P P e P -?≤（i =1,2,…,N ） (4-3.3) 式中，123e e e 、、分别为核定精度值，小正量。
对于二维I 、II 技术模型，参数i iT P P 、为测温点的模型温度和实测值i iT T T 、；对于二维III 技术模型，参数i iT P P 、为热流量模型值和实测值i iT Q Q 、；
对于二维IV 组合技术模型，参数i iT P P 、分别按组合情况对应处理。
核定精度值123e e e 、、的取值：
(1)温度核定值1e =5~15℃，2e =5~10℃，3e =1.0~5%。
(2)热流量温度核定值1e =20~100W ，2e =30~50W ，3e =0.2~1.0%。
为了均衡侵蚀边界各个部位的偏差，优先采用相对偏差3e ，其次采用方差均值1e 。采用2e 时建议按核定参数的数值大小分级核定。
4.2边界条件的构造
选定传热方程式后，其定解需要合适的边界条件。外边界条件有4类。第1类为温度边界条件；第2类为热负荷；第3类为表面对流传热；第4类是辐射。根据炉缸炉底的传热边界条件是第1~3类。下面分述二维I 、II 、III 级技术模型中边界条件的构造。
(1)侵蚀线——温度边界
侵蚀线温度边界为1150℃，即铁水凝固温度。
(2)二维I 级技术模型的外边界条件
轴截面和横截面内衬侵蚀二维计算的I 级技术模型适用2环/层测温点的热工测量条件的炉缸。
在轴截面侵蚀分析中，外层测温点连成折线外边界，折线点采用实测温度值，测温点之间的点的温度用线性插值计算。
在横截面侵蚀分析中，外层测温点（一般半径相同）连成圆弧线外边界，起点采用实测温度值，弧线上中间点的温度也用线性插值计算。
(3)二维II 级技术模型的外边界条件
轴界面和横截面内衬侵蚀二维计算的II 级技术模型适用1环/层测温点的热工测量条件的炉缸和炉底侵蚀边界计算。
其外边界条件为对流传热边界。较为精确地处理对流传热边界方法是，把冷却壁以及水管和炉底水冷管包含在模型中，取水管内表面作为对流传热界面，其上的对流传热系数h 按式(3-42)计算，即
v h 5.478.208+= W/m 2℃ (3-42)
式中，v ——水管内水流动速度，m/s ，冷却水温度取平均水温。
需要注意的是：炉缸冷却壁的水管一般呈纵向蛇形，在轴／纵截面内的模型外
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边界与水管分布面平行，为了在水管内表面内施加对流传热参数，需把水管作环向等效。
为缩小计算模型，提高计算速度，可以把水管内表面上的对流传热效应，按湿周等效原理各自等效到冷却壁水管中心面和炉底水管中心平面上。还可以再各自置换到冷却壁热面甚至碳砖冷面上和炉底找平层平面上，这样可以减小计算区域，进一步减少计算时间，参见3.4.2~3.4.3节。
(4)二维III级技术模型的外边界条件
二维III级技术模型的外边界条件——对流传热边界的处理与II级技术模型的外边界条件相同。
(5)IV级组合模型的外边界条件
IV级组合模型一般有下列情况：(a)炉底有两层或1层测温点，炉缸无测温点。炉底用I级或II级模型，炉缸用III级模型，作组合分析。(b)炉底有两层或1层测温点，炉缸有1层测温点。炉底用I级或II级模型，炉缸用II级模型，作组合分析。其边界核定条件利用式(4-3)分别对应使用。
4.3 二维侵蚀边界的几何构造
与一维侵蚀计算的侵蚀点不同，二维侵蚀计算中侵蚀边界是二维线。二维线的构造有两大类：折线、曲线，如图4-2所示。折线是平面内的一组顶点之间用直线段连接而成，过中间顶点的两段线在顶点处仅连续但不光滑。曲线则是平面内的一组顶点之间用曲线连接，过中间顶点的两段曲线在顶点处不仅连续，还要一阶导数、二阶导数连续（即一阶、二阶光滑）。
折线
曲线
顶点
测温点
图4-2 侵蚀边界的折线形式和曲线形式
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折线的形成较为简单。只要确定顶点，便直线连接即可。实用中，顶点增加后的折线可近似曲线。曲线的构造是在顶点确定后，需要根据顶点的坐标作拟合计算以实现一阶和二阶光滑。有许多拟合方法都能保证顶点的准确和曲线的光滑，但顶点之间的曲线形式会略有不同。三次样条曲线是一种常用的曲线拟合方法，它由过全部顶点的一种分段二阶光滑的三次多项式曲线衔接而成。
为了使侵蚀边界有确定的形态，顶点的数目需要与侵蚀边界的核定参数相同。同时为了侵蚀边界的方便定解，顶点集的位置与核定参数集（测温点、热流量）的位置应具有相关性。在一维计算中，炉底中心部位应严格地在炉底中心线方向上过测温点、炉缸侧壁则在水平横截面的半径方向上通过测温点，建立传热模型。二维计算中，侵蚀边界是连续的折线或曲线，其边界上顶点的设置在一定范围内可作调整，这种灵活性为炉角部位的侵蚀边界构造创造了条件，这也是二维计算模型区别于一维侵蚀计算模型的一个典型特征。
4.4 二维模型的初始侵蚀边界和模型重构(边界的移动)
与一维计算中1150℃侵蚀点经一个循环计算便可确定不相同，二维侵蚀边界由于是确定一条曲线或连续折线，不能通过一个循环计算来准确地确定。二维模型中，必须给定初始边界作为计算的始点。若给定初始边界与实际侵蚀边界有出入，需根据情况作出移动并重新构建模型，这是保证计算能够连续自动进行的基本条件，也是二维侵蚀模型的核心。
4.4.1初始边界的确定
对于新开炉的高炉，侵蚀量小，初始边界可设为内衬设计内腔原型。对于已经有较大侵蚀的炉缸，再按内衬设计内腔原型作为初始边界会降低计算效率，这时可用一维法先给出炉底和炉缸侧壁的初始边界部分，再经几何规划构造炉角部位的初始边界。
当经计算分析得到当前内衬侵蚀边界后，以后的计算也可把上次的内衬侵蚀边界作为下次的初始边界。
4.4.2模型重构和边界移动
当对某一个边界进行计算后，若不满足精度判定条件式(4-3)，应该对边界进行移动并重构模型，以便做下一次计算。
