12x+5对称，求曲线C’、C”的方程．
2006年名牌大学自主招生考试试题(4)
适用高校:清华大学
解答题(本大题共100分)
王老师精品讲义
第 16 页 共 75 页 1．(本题10分)求最小正整数n ，使得n i I )32121(+
=为纯虚数，并求出I ．
2．(本题10分)已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值．
3．(本题10分)已知sin sin cos θαθ、
、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1cos 2cos 22
αβ-的值．
4．(本题10分)求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积．
5．(本题15分)随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．
6．(本题15分)2y x =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求
PQ PR ．
王老师精品讲义
第 17 页 共 75 页
7．(本题15分)已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零．
(可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =?∞
→x g x f x )
8. (本题15分)已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角,它们所对的边分别a 、b 、c,求证:
2cos cos 4sin 2
a A B C
b
c ++≥+. (在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明?)
2007年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:复旦大学
选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)
1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个.
A.20
B.26
C.30
D.36
2．若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ，则lg(a ?1)+lg(b ?1)= .
A.lg2
B.1
C.不是与a 、b 无关的常数
D.0
3．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则
z
1的值是 . A ．3＋4i B.i 5453+ C.i 154153+ D.i 25
4253- 4．已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23+π),其中x 为实数且k 为整数.则f(x)的最小正周期为 .
王老师精品讲义
第 18 页 共 75 页 A ．3π B. 2
π C.π D.2π 5．已知A ＝｛(x,y)∣y≥x 2｝,B={(x,y)∣x 2+(y ?a)2≤1}.则使A∩B ＝B 成立的充分必要条件为 . A.a=
45 B.a≥45 C.0
a ，连接A ，E 两点以及C ，D 两点.则AE 和CD 之间的最小夹角为 . A. 9πa B. 3πa C. 3
π D.以上均不对 7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4,(n≥1),且a 1=9, 其前n 项之和为S n ,则满足不等式∣S n ?n ?6∣<1251的最小整数是4
5 . A.
6 b.
7 C.
8 D.9
8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 .
A.120
B.260
C.340
D.420
9．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为
31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32.则从乙袋中摸到红球率为 .
A ．97 B. 4519 C. 30
13 D. 4522 10.方程f(x)=5
43423322212321
---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 .
A ．1个 B. 2个 C.3个 D.无实根
11．已知a,b 为实数，满足(a+b)59=?1,(a ?b)60=1,则
∑=-601)(n n n b a ＝ . A.0121 B.?49 C.0 D.23
12．a=2
1是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a ?2)x+(a+2)y ?3=0相互垂直”的 . A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
13．设函数y=f(x)对一切实数x 均满足f(2+x)=f(2?x)，且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 .
A.0
B.10
C.12
D.14
14.已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2β
α+=sinγ,则下列四个表达式:
(1)tan αt an β=1 (2)0 A.(1)(3) B.(10(4) C.(2)(3) D.(2)(4) 王老师精品讲义 第 19 页 共 75 页 15．设S n =1+2+…+n,n ∈N.则∞→n lim 1 )32(2++n n S n nS ＝ . A.2 B. 32 1 C. 161 D.64 16．复数z=i i a 212+-(a ∈R,i=1-)在复平面上对应的点不可能位于 . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 17．已知f(x)=asinx+b 3x ＋4(a,b 为实数)且f [lg(lg 310)]=5，则f [lg(lg3)]= . A.?5 B.?3 C.3 D.随a,b 取不同值而取不同值 18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3 π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ . A ．21 B. 552 C. 1475 D. 14 73 19．在(32-)50的展开式中有 项为有理数. A.10 B.11 C.12 D.13 20．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 . A ．无法确定 B.a C.a 233- D.a 2 55- 21．在集合{1,2，…11}中任选两个作为椭圆方程122 22=+b y a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{(x,y)||x |<11,|y |<9}内的椭圆个数是 . A.70 B.72 c.80 D.88 22．设a,b,c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+?-++++c b a c b a ，则a+b+c 的最大值和最小值 . A.互为倒数 B.其和为13 C.其乘积为4 D.均不存在 23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式 a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,和式∑++=1211n n i a 的最大值＝ . A ．)1(210+n a B.n a 210 C.)1(25+n a D.n a 2 5 24．设z 0(z 0≠0)为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1?z 0|=|z 1|,z 为复平面上另一个动点满足z 1z=?1.则z 在复平面上的轨迹形状是 . 王老师精品讲义 第 20 页 共 75 页 A.一条直线 B.以0 1z -为圆心，01z 为半径的圆 C.焦距为0 12z 的双曲线 D.以上均不对 25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 . A.3123a π B.343a π C. 3242a π D. 324 3a π 26．已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x ?c) 在 0＜ 21时的定义域为 . A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c) 27．设函数f(x)=sin(2x+?),(?π
π.则?的值为 . A. 4π B. 43π C.－4 3π D.2π 28．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时，f(x)=?x,则当x ∈[－2,0］时，f(x)的表达式为 . A ．?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1| 29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f(a,b)=(a+5?3|cosb |)2+(a ?2)|sinb |)2所能达到的最小值为 . A.1 B.2 C.3 D.4 30．对任意实数x,y,定义运算x oy 为x oy ＝ax+by+cxy ，其中a,b,c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1o2＝3,2o3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x od=x ，则d= . A.－4 B.－2 C.1 D.4 2007年上海交通大学冬令营数学试题 90分钟答题时间 填空题(每小题5分，共50分) 1. 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+，则()f x =_______________. 2. 设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -=_______________. 3. 设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为_______________. 4. 设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________. 5. 11!22!33!!n n ?+?+?++?= _______________. 6. 设不等式()()11x x y y -≤-与22 x y k +≤的解集分别为M 与N .若M N ü，则k 的最小值为 王老师精品讲义 第 21 页 共 75 页 _______________. 7. 设函数()x f x x =，则()()()21123n S f x f x nf x -=+++= _______________. 8. 设0a ≥，且函数()()()cos sin f x a x a x =++的最大值为 252，则a =_______________. 9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________. 10. 已知函数()1211 x f x x -=+，对于*n N ∈定义()()()11n n f x f f x +=，若()()355f x f x =，则()28f x =_______________. 计算与证明题(每小题10分，共50分) 11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10r mm =，4h mm =时，R 的值. h 12. 设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性)，求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像.
