王老师精品讲义
第 1 页 共 75 页 2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题
2004年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校：复旦大学
一、填空题(每题8分，共80分)
1
．设842421(1)(1)x x x ax +=+++，则a= .
2．已知|5x+3|+|5x ?4|=7，则x 的取值范围是 .
3.椭圆22
1169
x y +=内接矩形的周长最大值是 . 4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法．
5．已知等比数列{}n a 中a 1=3, ，且第l 项至第8项的几何平均数为9，则第3项为 .
6．若2(1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是 .
7．己知22(4)149
x y -+=,则22
49x y +的最大值为 . 8．设x 1、x 2是方程2x ?xsin 3
5π＋cos 35
π=0的两个实数解，那么arctanx 1+ arctanx 2= . 9.方程3z z =的非零解是 .
10．方程112x
x y -+=的值域是 .
二、解答题(每题15分,共120分)
1.解方程
: 5log (1x =.
2.已知12sin(),13αβ+=
4sin(),5αβ-=-且0,0,,2παβαβ>>+<求tan 2α.
王老师精品讲义
第 2 页 共 75 页
3．已知过两抛物线C 1：x ＋1=(y ?1)2，及C 2： (y ?1)2＝?4x ?a+11的一个交点的两条切线互相垂直，求a 的值．
4．若存在M,使任意x ∈D(D 为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|≤M ．则称函数f(x)有界,函数f(x)=11sin x x 在10,2x ??∈ ???上是否有界？
5.求证
: 13+< .
6.已知E 是棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -的棱AB 的中点,求点B 到平面1A EC 的距离.
7.比较24log 25与25log 26的大小,并说明理由.
王老师精品讲义
第 3 页 共 75 页 8.已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166n n n b a b +=+,又12a =,14b =,
求:(1) ,,n n a b ;(2)1im lim
n n n a b →∞.
2004年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校：上海交通大学
一、填空题(每题4分,共40分)
1．已知x 、y 、z 是作负整数,且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z 的取值范围是 ．
2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 .
3
．函数02y x π?=≤≤??
的值域是 . 4．已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数，且a ≤b ≤c ，b=n ，则满足条件的三角形r 的个数为
5．设x 2+ax+b 和x 2+bx+c 的最大公因式为x+1，最小公倍式为x 3+(c ?1)x 2+(b+3)x+d ，则(a,b.c,d)=
6．已知
1a ≤≤
||x =的相异实根的个数是 . 7．整数()8182004736+的个位数是 .
8．已知数列{a n }满足a 1=l,a 2=2,且2132n n n a a a ++=-,则2004a = .
9．在n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .
10．已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc = .
二、解答题(本大题共60分)
1.已知矩形的长、宽分别为a 、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.
王老师精品讲义
第 4 页 共 75 页 2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a ∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a 的值,以及各项的二项式系数.
3.已知f(x)=432(58)69ax x a x x a ++-+- ,证明:
(1)恒有实数x,使f(x)=0,
(2)存在实数x ，使f(x)的值恒不为0.
4.已知f 1(x )=
11x x -+ ,对于一切正整数n ,都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =,求28()f x .
5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.
6．已知｛n a ｝是公差为6的等差数列，11n n n b a a ++=-(n ∈N+).
(l)用a 1、b 1、n 表示数｛n a ｝的通项公式；
(2)若a 1＝b 1=a ，a ∈[27,33]，求a n 的最小值及取最小值时n 的值．
王老师精品讲义
第 5 页 共 75 页 2005年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校：复旦大学
一、填空题(每题5分,共50分)
1．已知集合A=22{|log (1)0,}x x x x R -->∈,B=1{|221,}x x x x R -->∈,则A R eB= .
2.设数x 满足x ＋1x =?1,则3003001x x
+= . 3．圆ρ
＝θ?5cos θ的圆心的极坐标为 ,其中[0,2)θπ∈.
4．设抛物线y=2x 2+2ax+a 2与直线y=x+1交于A ，B 两点, 当|AB|最大时,a ＝ .
5
．计算：n →∞= . 6．化简：l+3+6＋…＋(1)2
n n += . 7．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l 个女生的概率为 .
8．写出31000在十进制中的最后4位 .
9．设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+220021x f x +??
?-??=4015?x(x≠1), 则f(2004)= . 10.函数y ＝1sin 2cos x x
++的最大值是 . 二、解答(本大题共70分)
1.在四分之一个椭圆22
221(0,0,,0)x y x y a b a b
+=>>>上取一点P,使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成的三角形的面积最小.
2.在ABC ?中,已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =,求
AC AB
.
王老师精品讲义
第 6 页 共 75 页 3．在单位正方体ABCD ?1111A B C D 中, E 、F 、G 分别是AD 、A 1A 、1A 1B 的中点,求：
(l)点B 到面EFG 的距离；(2)二而角G ?EF ?1D 的平面角θ.
4
=3的实数根．
5.
已知sin cos (0a a αα+=≤≤,求sin cos n n
αα+关于a 的表达式.
6．设直线l 与双曲线xy=l 交于P 、Q 两点，直线l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,求证：|AP|=|BQ|.
王老师精品讲义
第 7 页 共 75 页 7．已知定义在R 上的函数f(x)=442x x +,121n n S f f f n n n -??????=+++ ? ? ???
???? ,n=1,2,3?, (1)求S n ；(2)是否存在常数M>0对，对任意2n ≥,有
231111n M S S S ++++≤ ?
2005年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校：上海交通大学
一、填空题(每题5分，共50分)
1.已知方程2212x px p
--=0(p R ∈)的两根12,x x
满足44122x x +≤,则p= . 2.设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ???
,则x= . 3.已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????,则n= .
4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为
6的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 .
第4题图
5,,x y Q =∈则(x,y)= .
6．化简：()()122222246812n n +-+-++- = .
王老师精品讲义
第 8 页 共 75 页 7，若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22
z ＋2z+20= .
8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 .
9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 .
10．已知等差数列｛a n ｝中,a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝
二、解答题(本大题共50分)
1.已知方程x 3+ax 2+bx ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值．
2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得
(l)最大角是最小角的两倍？
(2)最大角是最小角的三倍？
若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．
3．已知函数y=2281
ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值
4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年).
5．对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ，s ，t ，使得对于任意正整数n,
都有n a r t =+恒成立([x]表示不超过x 的最大整数)?
2006年名牌大学自主招生考试试题(l)
王老师精品讲义
第 9 页 共 75 页
适用高校：复旦大学
选择题(共150分，每题5分,答对得5分，答错例扣2分，不答得0分)
1．在(x 2?
1x
)10
的展开式中系数最大的项是_____. A ．第4、6项 B ．第5、6项 C ．第5、7项 D ．第6、7项
2．设函数y=? (x)对一切实数x 均满足? (5+x)=?(5?x)，且方程? (x)=0恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为____.
A ．10
B ．12
C ．18
D ．30 3．若非空集合X=｛x ｜a+1≤x≤3a?5｝，Y=｛x ｜1≤x≤16｝，则使得X ?X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.
A ．｛a ｜0≤a≤7｝
B ．｛a ｜3≤a≤7｝
C ．｛a ｜a≤7｝
D ．空集 4．设z 为复数，E=｛z ｜(z ?1)2=|z ?1|2｝，则下列_ __是正确的 A ．E={纯虚数} B ．E={实数} C ．{实数}?
E ?{复数} D ．E={复数}
5．把圆x 2
+(y ?1)2
=1与椭圆x 2
+2
(1)9
y +=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____.
A ．线段
B ．等边三角形
C ．不等边三角形
D ．四边形
6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若
