离散数学课后习题答案 - （左孝凌版）(5)

证明 设A上定义的二元关系R为：

xu

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R? = yvxx

① 对任意＜x,y＞∈A，因为 = ，所以

yy＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R 即R是自反的。

② 设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若

xuux

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R? = ? = ?＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R

yvvy即R是对称的。

③ 设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R xuuwxw?（ = ）∧（ = ）? = yvvsys?＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R

故R是传递的，于是R是A上的等价关系。

3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使在R之中，则R是一个等价关系。 证明 对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R. 因为R是传递的和对称的，故有：

＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈R?＜a, c＞∈R?＜c,a＞∈R 由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈R?＜a,a＞∈R 所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。

3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。 a）（A×A）-R1； b）R1-R2； c）R1；

d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。 解 a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：

2

A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}

A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞} （A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞} 所以（A×A）-R1不是A上等价关系。

b）设 A={a,b,c}

R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞} R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞} R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}

所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。 c）若R1是A上等价关系，则 ＜a,a＞∈R1?＜a,a＞∈R1○R1

所以R1是A上自反的。

若＜a,b＞∈R1则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有 ＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1?＜b, a＞∈R1 即R1是对称的。

若＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1,则有 ＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1

?（?e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（?e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1） ?＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递） ?＜a,c＞∈R1 即R1是传递的。 故R1是A上的等价关系。

d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但 r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA

={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞} 不是A上的等价关系。

3-10.8 设C是实数部分非零的全体复数组成的集合，C上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)?ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。

证明：(1)对任意非零实数a，有a>0?(a+bi)R(a+bi) 故R在C上是自反的。

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(2) 对任意(a+bi)R(c+di)?ac>0, 因ca=ac>0?(c+di)R(a+bi), 所以R在C上是对称的。

(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0?cu>0 若c>0，则a>0?u>0? au>0 若c<0，则a<0?u<0? au>0

所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C上是传递的。

关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。

3-10.9 设Π和Π?是非空集合A上的划分，并设R和R?分别为由Π和Π?诱导的等价关系，那么Π?细分Π的充要条件是R? ? R。

证明：若Π?细分Π。由假设aR?b，则在Π?中有某个块S?，使得a,b∈S?，因Π?细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S?? S，即a,b∈S，于是有aRb,即R? ? R。 反之，若R? ? R，令S?为H?的一个分块，且a∈S?，则S?=[a]R?={x|xR?a} 但对每一个x，若xR?a，因R? ? R，故xRa，因此{x|xR?a} ?{x|xRa}即[a]R? ?[a]R 设S=[a]R,则S?? S 这就证明了Π?细分Π。

3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。 证明：由题设Rj={|x≡y(modj)}

Rk={|x≡y(modk)}

故∈Rj?x-y=c?j (对某个c∈I) ∈Rk?x-y=d?k (对某个d∈I)

a)假设I/Rk细分I/Rj，则Rk ? Rj 因此∈Rk?∈Rj 故k-0=1?k=c?j (对某个c∈I) 于是k是j的整数倍。

b)若对于某个r∈I，有k=rj则： ∈Rk?x-y=ck (对某个c∈I) ? x-y=crj (对某个c,r∈I) ?∈Rj

因此，Rk ? Rj，于是I/Rk细分I/Rj

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