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3. 高阶导数与微分
（1）高阶导数
y???dydx22?dd?dy??n??n?1?， y?y??dxdx?dx???几个常用公式 （1）?????ax?b??n?1?n????1?nn!n?1?ax?b?a n（2）?sinx?n????sin?x?? 2??n????cos?x?? 2??n（3）?cosx??n??n?（4）?e?x???e?x ?n?n（5）莱伯尼兹公式 ?uv???ci?0inuv?i??n?i? 例2.18. y?xe?2x，求y???0? 解：y??ey??e?2x?x??2?e?2x ?2x?1?2x? ?xy????2ey???e?2x??1?2x?e?2x??2? ??4?4x? y??(0)??4
例2.19. y?xe，求y?10?102x?10?
解：y??i?0c10?xi2??i??ex??n?i?
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第二章 导数计算及应用
y?10??xe?20xe?90e
12xxx例2.20．y?解：y??2x?1??x?2?1，求y?n?
?2x?1??x?2?151
????2x?1??2?x?2? ?2x?1??x?2?1?252x?1?1??5x?2? ?n?y?n???1?1???5?x?2??n??2?1???5?2x?1???15???1?nn！n?1?x?2??25???1?nn!n?1?2x?1??2 n例2.21．y?ln?2x?1? ，求y?n? 解：y??22x?1 y?n??2??1??n?1?!n?1??1??2n??n?1?!?2?,?n?2? nn?2x?1??2x?1??50??n?1?n?1例2.22．f?x??cos2x，求f解：f?x??cosx?2?0? 1?cos2x2 f?n??x???1n??n????nn?1?2?cos?2x???2cos2x??? ?222????49f(50)(0)??2cos(25?)?249 (n)例2.23．f?x??sin5xcos2x，求f解：f?x??12?x? ?sin7x?sin3x? 1n??1nn????n?7sin?7x??3sin3x???? 2222????f?n??x?? - 29 -
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（2）一阶微分
定义：对于函数y?f(x)，如果存在常数A，使得：
f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)??x?0?
则称f(x)在x?x0处可微。
成立：f?x?在x?x0可导?可微，且dy?f?(x0)dx。 dy?f??x?dx可作为微分求解公式。 例2.24．y?xsin2x，求dy|x??2 解：y??sin2x?2xcos2x y?(?2)?sin???cos???? dy?y?(?2)dx???dx。 例2.25．y?解：y??sin2xxx2，求dy。 ，dy?2xcos2x?sin2xx22xcos2x?sin2x2dx ?2?x?2例2.26．f(x)??xe,x?0，求df|x?0 ??xsinx,x?0解：f??(0)?limh?0f(h)?f(0)h2? ?lim?h?0he2?h2h?0， hsinhh?0， f???0??lim?h?0f(h)?f(0)h?lim?h?0故f?(0)?0，所以dy|x?0?0?dx?0。 例2.27．利用微分近似计算e0.05。
x解：令?x?0.05,x0?0,f(x)?e，
则e
0.05?ex0??x?ex0?f'(x0)?x0=1?1?0.05?1.05。
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第二章 导数计算及应用
4、求导中若干特别问题 （1）奇偶函数导数
结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。
例2.28．f（x）为奇函数，f?(?2)?5,f?(?5)?(5)。
例2.29． f(x)为可导函数，则f(x)?f(?x)的导数为（偶函数）。 （2）dlnx?1x2dx 1x?a2 (ln(x?x?a))?? （3）f(x)?(x?a)m|(x?a)n|,(n为奇），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1. 例2.30． f(x)?(x2?2x?3)|(x?3)(x?1)3|导数最大阶数为（1阶）。 （4）(u(x)v(x))??(evlnu)??u(x)v(x)(v?lnu?vu?u) 例2.31． y?(sinx)x,求y? 解：y??(sinx)x(lnsinx?xcotx) （5）符号型求导 例2.32. y?f(f(x2)),求y?。 22解：y??f?(f(x))?f?(x)?2x 三、隐函数、参数方法求导 1．隐函数求导 由方程F(x,y)?0确定的函数y?y(x)，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。 例2.33．由xy?e?sin(3x?2y)?x确定隐函数y?y(x)，求解：方程两边对x求导得
y?x?2yy??ey??cos(3x?2y)(3?2y?)?1
2y2ydydx。
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y??1?y?3cos(3x?2y)2xy?e?2cos(3x?2y)y2
例2.34．由方程sin?2x?y??y?1确定隐函数y?y?x?, 求y?,y??.
2解：sin?2x?y??y?1 2 方程两边对x求导，得：cos?2x?y??2?y???2yy??0 （*） ?2cos(2x?y)2y?cos(2x?y)y?=，（*）式再对x求导，得： ?sin?2x?y??2?y???cos?2x?y??y???2?y???2yy???0 22y???sin?2x?y??2?y???2?y??2y?cos?2x?y?22?4ysin?2x?y??4cos22?2x?y?2??2y?cos?2x?y??? 例2.35．已知y?y?x?由方程(y?1)ex?xexy?2ex确定，求y?(0). xxyx解： 将x?0代入(y?1)e?xe?2e，得到y?3。 xxxyxyx方程两端对x求导，得e(y?1)?y?e?e?xe?y?xy???2e， y??2e?(y?1)e?ee?xex2xxxy?xyexyxy，y??0??2?2?11??1。 2．参数方程求导 ?x?x(t) 问题： ??y?y(t),求
dydx,
dydx22.
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