第二章 导数计算及应用
第二章 导数计算及应用
本章主要知识点
? 导数定义 ? 复合函数求导,高阶导数,微分 ? 隐函数,参数方程求导 ? 导数应用 一、导数定义 函数y?f?x?在x?x0处导数定义为 f?(x0)?limf(x0?h)?f(x0)hf(x0?h)?f(x0)hf(x0?h)?f(x0)hh?0 左导数 f??(x0)?lim右导数 f??(x0)?limh?0?h?0?导数 f?(x0)存在?f??(x0),f??(x0)有限且f??(x0)?f??(x0) 分段点求导必须应用定义。 两个重要变形： ?x0)?lim1. f（f(x)?f(x0)x?x0 x?x0hf(1?2h)?f(x0?5h)例2.1. 若f?(1)??2，求lim h?0hh?02. 若f?(x0)存在，limf(x0?mh)?f(x0?nh)?(m?n)f?(x0) 解：limf(1?2h)?f(x0?5h)hh?0＝(?2?5)f?(1)?14
f(2x)1?sin(3x)?1例2.2. 若f?(0)?2,f(0)?0,求limx?0 - 23 -
创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印
解：limf(2x)1?sin(3x)?1x?0＝limf(2x)?f(0)?12sin3xx?0??2limf(2x)?f(0)3xx?0??43f?(0)??83
?x2?x,x?0例2.3．f(x)?? 求f?(0) 3?2x?x,x?0解： f??(0)?limf??(0)?limf(0?h)?f(0)hf(0?h)?f(0)hh?0??lim?limh?h?0h32h?0??1 2h?hhh?0?h?0??2 f??(0)?f??(0) 所以f'(0)不存在. 例2.4．f(x)?2|x|，求f??0? ?2x,x?0解： f(x)???x ?2,x?0f??(0)?limf??(0)?limf(0?h)?f(0)hf(0?h)?f(0)?lim?lim2?1h2?1hhhh?0?h?0??limehln2?1h?0?h?limhln2hh?0??ln2 h所以f?(0)不存在。 h?0?h?0???ln2 1?2?xsin?sinx,x?0例2.5．f(x)?? 求f??0?。 x?0,x?0?hsin1h?sinhh2解： f?(0)?limh?0?limsinh?01h?不存在 所以 f??0?不存在 ?f(1?x)?f(1?3x),?ln(1?x)?? 例2.6．如果f??1??2，分析函数f(x)??0,x?0?f(1?x)?f(1?2x)?,2xe?1??x?0在x=0处的连续性。
x?0
- 24 -
第二章 导数计算及应用
解：f(0?0)??limf(1?h)?f(1?2h)2hh?0?12(1?(?2))f?(1)?32f?(1)?3
f(0?0)??limf(1?h)?f(1?3h)ln(1?h)h?0?limf(1?h)?f(1?3h)hh?0??4f?(1)??8
所以 f(x)在x=0处不连续。
二、复合函数求导、高阶导数、微分 1．复合函数中的层次关系识别 正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。 例2.7．y?e1sin(cos)x 1x由外及里y分为四层：e?sin?cos?例2.8．y?lnxsin2x y分为一层：? 例2.9．y?sin3?sin2x?tanx? y分为三层：立方?sinx?? 例2.10．y?sin(ln?2x?1?x2? y分为四层：?sin?ln?? 化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。 2、复合函数的求导原则 我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”： “外及里；号变号；则用则；层间乘”。 例2.11．y?2解：y??2?2xsin3x，求y?， xsin2xln2?xsin3x??
xsin3xln2x?sin3x?x?sin3x??
???2
xsin3xln2?sin3x?xcos3x?3?
- 25 -
创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印
?2xsin3xln2?sin3x?3xcos3x?
例2.12．y?earctan(sin2x)，求y?； 解：y??earctan(sin2x)例2.13．y?解：y???2cos2x1?sin2x22
xesinx，求y?； x(esinx2?sinx2xe?)? 12xsinx2e(sinx2?xesinx2cos(x)2x 22?e12x?2xxcosx) 2x?1?x)，求y? 2例2.14．y?sin2(ln解： y??2sin(ln(2x?1?x2))cos(ln(2x?1?x2))12x?1?x2(222x?1?2x) ?sin2ln??2x?1?x2???2?2x?1?x?1??2x? 2x?1?1分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。 ?x3?x,x?0例2.15．f?x???3，求f??x? ??x?x,x?0?3x2?1,x?0解：f??x??? 2??3x?1,x?0f???0??lim?h?0f?h??f?0?hf?h??f?0?h?lim?h?0h?hh33?1 ?1 f???0??lim?h?0?lim?h?0?h?hhf?(0)?1，
?3x2?1,x?0?1,x?0综合得，f??x???。 ??3x2?1,x?0?例2.16. f?x??2
x?a，求f??x?
- 26 -
第二章 导数计算及应用
?2x?a,x?a?解：f(x)??1, x?a
?a?x?2,x?a?2x?aln2,x?a? f?(x)??a?xln2,x?a???2f???a??lim?h?0f?a?h??f?a?hf?a?h??f?a?h?lim?h?02?1h2?hh?ln2， ??ln2 f???a??lim?h?0?lim?h?0?1h所以f??a?不存在。 1?2?xsin?sinx,x?0例2.17. 已知f?x???， x?0x?0?（1）求f??x?；（2）研究f??x?在x?0处的连续性。 解：（1）f??x??2xsinf??x??2xsin1x1x?xcos?cos1x21?1?2?cosx， xx?cosx2x?0? 1hh?sinh?1?limhsinh?0f??0??limf?h??f?0?h1x1xx?0hsin?limh?01hh?0?1。 （2）limf??x??lim2xsinx?0?limcosx?01x?1 limf??x??1?limcosx?0x?0，不存在， 故f??x?在x?0处不连续，且为II类间断。 - 27 -
