例： 测定20位青年男子和20为老年男子的血压值数据，经计算得S12?193.4，而
2S2?937.7，取??0.05，问老年人血压个体间波动是否显著高于青年人？
解：人类的血压值是服从正态分布的随机变量，用X1表示青年人的血压值，
2 X1~N(?1,?12); X2表示老年人的血压值，X2~N(?2,?2)，对于给定的??0.05时；2假设检验： ?12??2 2备择检验： ?12??2
统计量为：
S12F?2?0.206~F(19,19)
S2对于??0.05，查F分布表得：
F0.95(19,19)?1?0.463
F0.05(19,19)F?F0.95(19,19)
落入拒绝域，即认为老年人的血压值在个体间的波动显著高于青年人。
2．3．2 方差?i2已知时，两个正态总体均值间差异显著性的检验—U检验 设X1,X2,...,Xn1是来自正态总体N(?1,?1)的样本，Y1,Y2,...,Yn2是来自正态总体
2则分别是两N(?2,?)的样本，且两个样本相互独立，又X,Y为两个样本的均值；S12,S222??2个样本的方差。
现在?1,?2已知，要检验假设； H0:?1??2 备择假设有三种情况： （1） H1:?1??2 （2）H1:?1??2 （3）H1:?1?
22?2
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因为两个样本是从两个正态总体中独立抽取的，故
X?Y~N(?1??2,???12n1?2?2n2)
所以，当H0:?1??2成立的条件下
U?X?Y???21n1??22~N(0,1)
n2故选U为检验统计量，其中分子为两个样本的均值差，而分母为两个总体的均值差的标准误，记作?故有
X?Y??；
U?X?Y???
X?Y??对于给定的?值，可以推出上述的备择假设的拒绝域分别为 （1）U?u? （2）U??u? （3）U???
2例：根据历史资料知道某种小麦的每平方米的产量服从正态分布，且??2?0.4(kg2)，今从
2该品种的两块地上抽样调查，甲块地取容量12的样本，得产量平均数x?1.2kg/m，乙块地取容量8的样本，得产量平均数y?1.4kg/m。试比较甲乙两块地的平均产量是否有明显差异？
解：根据题意，甲乙两块地的每平方米的产量X，Y服从正态分布N(?1,?)和N(?2,?),现?为已知，我们要检验
2?222H0:?1??2,H1:?1??2
选择检验统计量：
U?X?Y???
X?Y?? 12
对于给定的??0.05，查标准正态分布表，得
???u0.025?1.96
2经计算得：U?0.6928??0.025?1.96
推断： 没有落入拒绝域，接受H0，即两块地的平均产量没有明显差异。
22．3．3方差?i2未知时，但?12??2时，两均值间差异显著性的检验—成组数据t检验 成组数据t检验，在两均值检验中应用得最广泛，它的检验程序与前边所讲的U检验基本相同，只是二者所使用的检验统计量不同，成组数据t检验所使用的统计量为
T?(X?Y)?(?1??2)S?11?n1n2??
其中
S??2(n1?1)S12?(n2?1)S2
n1?n2?2在H0:?1??2下变成
T?S?X?Y11?n1n222??~t(n1?n2?2)
2这里S?是S1和S2分别以各自的自由度为权的加权平均数，称之为合并的方差，用它来估
计?，S?211?恰好是样本均值差的标准误，既 n1n211? n1n2S?X?Y??S?所以，检验统计量
T?X?Y~t(n1?n2?2) S??X?Y??成组数据t检验的H0:?1??2，备择假设及其相应的拒绝域分别为： （1）H1:?1??2;T?t?(n1?n2?2)时，拒绝H0；
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（2）H1:?1??2;T??t?(n1?n2?2)时，拒绝H0； （3）H1:?1??2;T?t?(n1?n2?2)时，拒绝H0。
2例：用两种不同的配方生产同一种材料，对第一种配方生产的材料进行7次实验，测得材料的平均强度x1?13.8kg/cm，标准差S1?3.9kg/cm2；对第二种配方生产的材料进行8次实验，测得材料的平均强度x2?17.8kg/cm，标准差S2?4.7kg/cm2；已知两种工艺生产的材料强度均服从正态分布，在??0.05的水平下，能否认为第一种配方生产的材料强度低于第二种配方生产的材料强度？ 解：第一步进行方差齐性检验：
22 H0:?12??2,H1:?12??2?2?2在H0为真的条件下，检验统计量
S12F?2~F(n1?1,n2?1)
S2对于??0.05，查F分布表得：
F??F0.025(6,7)?5.12
2F1??(n1?1,n2?1)?F0.0975(6,7)?211??0.1754
F0.025(7,6)5.70?3.9?而统计量的值F????0.6885，所以有
?4.7?S12F0.0975(6,7)?0.1754?F?2?F0.025(6,7)?5.12
S2故在水平??0.05下，接受H0，即可以认为两种配方生产的材料强度的方差相等。也就是说，可以认为两个正态总体方差齐性：?1??2。
第二步，进行两个正态总体均值差异性的检验，也就是要在方差未知但相等条件下来检验假设：H0:?1??2,故选检验统计量：
222H1:?1??2
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T?X1?X2~t(n1?n2?2)
S??X1?X2??对于给定??0.05，查自由度的临界值t0.05(13)?1.7709，又合并方差
S?22(n1?1)S12?(n2?1)S2??(4.35)2
n1?n2?2而
1111????0.5175 n1n278故
S?X1?X2??S?11??4.35?0.5175?2.251 n1n2得到检验统计量的观测值
T?X1?X213.8?17.8???1,7769
S??2.251X1?X2??由于
T??1.7769??t0.05(13)??1.7709
落入拒绝域，即可以认为第一种配方生产的材料强度低于第二种配方生产的材料强度。
3． 样本频率的假设检验
许多生物和其它试验的结果是用频率（或百分数、成数）表示的，这种频率是由计算某一属性的个体数目求出的，属间断性的统计资料，它与连续性的测量资料是不同的。理论上，这类频率的假设检验应按二项分布进行，但是，如果样本容量n较大，p不太小，np和nq又均不小于5时，二项分布趣于正态分布，从而可将频率资料作正态分布处理，并用U统计量作出近似的检验。
3．1 单个样本频率的假设检验 在科学研究中，有时需要检验一个样本频率与已知二项总体频率差异是否显著，即检验该样本是否来自某二项总体。这类问题就是样本频率与总体频率显著性检验问题，其
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