2012届高三二轮复习专题（十六）
题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳
1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值
2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
22
例1不查表求sin20°+cos80°+3cos20°cos80°的值
命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高
知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错
技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin220°+cos280°+3sin220°cos80° =
12 (1－cos40°)+
121212 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－=1－
cos40°+cos40°+
1212cos160°+3sin20°cos(60°+20°) (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－=1－
1234cos40°－cos40°－
443134sin40°+
1434sin40°－
32sin20°
2
cos40°－(1－cos40°)=
解法二 设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°
22
y=cos20°+sin80°－3cos20°sin80°，则
x+y=1+1－3sin60°=
12，
x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°
=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=
14，
14即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=
2
12例2设关于x的函数y=2cosx－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=a值，并对此时的a值求y的最大值
的
命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力
知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题
错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错
技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等
解 由y=2(cosx－
a2a?4a?222)－
2
及cosx∈［－1，1］得
?1 (a??2)?2?af(a)＝???2a?1 (?2?a?2)
2??1?4a (a?2)?∵f(a)=
12,
12∴1－4a=或 －
a2?a=
18?［2,+∞)
122－2a－1=
12，解得a=－1?(?2,2)，
12此时，y=2(cosx+
)2+
，
当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
?127?12?3)－3sin2x+sinxcosx
，
］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值
命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力
知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 错解分析 在求f
-－1
(1)的值时易走弯路
?32
)－3sinx+sinxcosx
技巧与方法 等价转化，逆向思维 解 (1)f(x)=2cosxsin(x+
=2cosx(sinxcos
?3+cosxsin
?3)－3sinx+sinxcosx
?32
=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+
?3)
=2kπ－
?33?2，即x=kπ－
?7?2,25?65?12 (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2
(3)令2sin(2x+∴2x+则x=
?3)=1，又x∈［,
3?2］, ，
∈［
?］,∴2x+
?4?3=
?4，故f
-－1
(1)=
3?4例4 已知_________
解法一 ∵
?2?2＜β＜α＜,cos(α－β)=
1213,sin(α+β)=－
35,求sin2α的值
＜β＜α＜
23?4,∴0＜α－β＜
513?4 π＜α+β＜
23?4,
45.
∴sin(???)?1?cos(???)?,cos(???)??1?sin(???)??∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
?513?(?45)?12356?(?)??. 13565513解法二 ∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－
45,
72654065∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－∴sin2α=(?217265?4065)??5665
学生巩固练习
1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－
??22,)，则tan
12???2的值是( )
43A
354B －2 C ，α∈(
?2 D
1212或－2
2 已知sinα=3 设α∈(
,，π)，tan(π－β)=
?4，则tan(α－2β)=______
35?3?4)，β∈(0，)，cos(α－
?4)=，sin(
3?4+β)=
513，则sin(α+
β)=_________
4 不查表求值:
?42sin130??sin100?(1?1?cos10?353tan370?).
25 已知cos(+x)=
83，(
17?12＜x＜
7?4)，求
sin2x?2sin1?tanxx的值
26 已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z) 求
1?cos(???)csc?2?sin?2?4sin(?4??4)的最大值及
最大值时的条件
7 如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求积
8 已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是求函数y=log2x?312BQP形PQRS此最大面
ORSAD，x∈D，
4x?10的最小值，并求取得最小值时x的值
参考答案
1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0, 又α、β∈(－
?2,
?2)∴α、β∈(－
?2,θ),则
???2∈(－
?2,0),
???2又tan(α+β)=
tan??tan?1?tan?tan??3tan??4a1?(3a?1)?2?432tan,又tan(???)?1?tan???2
42?,
???32整理得2tan答案 B
2
???2???2=0 解得tan=－2
2 解析 ∵sinα=则tanα=－
3435,α∈(
?2,π),∴cosα=－
124512 ,
,又tan(π－β)=
2?(?可得tanβ=－
)42tan2?????. 211?tan?321?(?)22tan?tan??tan?1?tan??tan2?21??34?(?3443)43?)tan(??2?)?724
1?(?)?(?答案
724
?3?3???,),α－∈(0, ),又cos(α－)= 4454243 解析 α∈(
?sin(???4)?45,??(0,?4?4).?3?44???(??)?3?4],?).sin(3?4??)?513,?cos(3?4??)??1213.?sin(???)?sin[(????cos[(????cos(???4?4)?(3?44)?(3??2??)]??)?sin(???4)?sin(3?4??)??35?(?1213)?45?513?5665.答案
)?cos(56653?即sin(???)?5665
4 答案 2
5.解:?cos(又17?12?4?x)?74355?3,?sin2x??cos2(?x??4?x)?725.45?x?2?,???4?2?,?sin(x?2?4)??sin2x?2sin1?tanxx2sinxcosx?2sin1?sinxcosx45)?x?2sinx(sinx?cosx)cosxcosx?sinx
sin2xsin(?cos(?4?x)7?25?(?352875?4?x)1?cos(???)csc?2?sin?26.解:令t??4sin(2?4??4)sin??2(1?cos?)21?cos(?42?2??1?sin?2(sin?2?2?22?)sin?2?2cos22?2?4(1?1sin?)222coscos???22?3?2??2?sin)?2?4sin???283??2
?????83?,?????4232???124??2?.2?3)?2?t?4sin(?2?)?(?)?2??2sin(???k?（k∈Z）,??2?23??k?2??32?3 （k∈Z）
?2?23?)的最小值为－1
∴当
?2?2?3?2k???2,即??4k??（k∈Z）时,sin(7 解 以OA为x轴 O为原点，建立平面直角坐标系，
并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ 直线OB的方程为y=3x，直线PQ的方程为y=sinθ 联立解之得Q(θ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－于是SPQRS=sinθ(cosθ－
==
∵0＜θ＜∴sin(2θ+此时，θ=
3333333333sin
sinθ
sinθ)
332
(3sinθcosθ－sinθ)=
(
3233sin2θ－sin(2θ+
?61?cos2?236)
(
32sin2θ+
?612cos2θ－
5612)=
12?6)－
?3?6?6,∴
?6＜2θ+＜π ∴＜sin(2θ+)≤1
36)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，点P为?AB的中点，P(
31,) 22，
8 解 设u=sinα+cosβ 则u2+(3)2
=(sinα+cosβ)+(cosα+sinβ)=2+2sin(α+β)≤4
∴u≤1,－1≤u≤1 即D=［－1,1］, 设t=2x?3,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤5 x=?M?2x?34x?104t?t2t?4222
2
t?322
?12t?4t?14228?28.当且仅当2t?,即t?2时,Mmax?.?y?log0.5M在M?0时是减函数,?ymin?log0.5此时t?2,28?log0.52?log0.58?12.52时,
2x?3?2,x??课前后备注
