三.计算题
lncosx11#1.lim(2?x2sin) ? # 2.limx?0x?0xx222?tlntdt ?1
cosx1x483.lim(x?1?x?1) 0 4. lim?(cosx) e1x?12
x??x?0#5. lim?xx?1(1?x)tan2
2? 6. 求limxx?1x?0?xlnx=1
解：一）原式?limxx(1?lnx)?lnx?1?limxlnx?xx?lim?e?e0?1，
x?0x?0x?0exlnx二）原式?lim?10?xlnx,?limx?0?xlnx?0,?exlnx?1~xlnx?x,x?0
?1。
f(x)为连续函数，计算limx27.设xx?ax?a?af(t)dt a2f(a)
8.?sin(lnx)dx x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?c 9.
??1?cos2xdx 22 10.?a00x2a2?x2dx 11.设y?(sinx)cosx，求y? (sinx)cosx[?sinxln?sinx??cos2xsinx]
#12.设?lnytx20edt??0costdt?0，求dy ?2xcosx2dx
?13.设f?(x)在[0,1]上连续，求积分
?22??[f(cosx)cosx?f?(cosx)sinx]dx
2??提示：原式??2??f(cosx)cosxdx?2?2??sinxdf(cosx)
2?????2??f(cosx)cosxdx?sinxf(cosx)2????2??f(cosx)cosxdx?2f(0)
22214.
?3x?1x2?4x?8dx 32lnx2?4x?8?5x?22arctan2?c 15.设?x?f(t)??，其中可导，且?，求dy??y?f(e3t?1)ff(0)?0dx 3 t?0
?416a
6
#16.?17.
arcsinx(1?x)dx arcsinx?3x1?x2?ln1?x2?c
22??0sin2x?sin4xdx
提示：原式?18.
??0sin2xcos2xdx??sinxcosxdx?1
0??2ln21?x 发散 19. dx2(1?) e?1dx2?0(1?x)020.?dx?xx2?1 arccos1x?c 21.?2??(x3?4)cos4xdx 222.?ln3xxdx 12ln2(3x)?c 23.?ln22110x3?e?xdx ?4ln2?2#24.?dxex(1?e2x) ?e?x?arctanex?c 25.?1?2x1?2xdx 26.设f?(ex)?1?x，求f(x)?xlnx?c 27.?x5cosx3dx ?133xsinx3?cosx3?c 28.
?arcsinxx21?x2dx??arcsinx1?x2?lnx?c
dx329.
??13[(x?1)2?(x?1)2x?1?x?13]?c
#30.?dxx(1?x10)?lnx?110ln1?x10?c #31.已知f(x)的一个原函数为(1?sinx)lnx，求?xf?(x)dx
?xcosxlnx?1?sinx?(1?sinx)lnx
32.?xln1?x1?xdx?12ln1?x1?x(x2?1)?x?c #33.?ln(x?1)xdx?2xln(x?1)?4x?4arctanx?c ?#34.?2esinx?a?0esinx?ecosxdx ?2 35.?10x?a2?x2dx?4 本题不作要求36.已知?(x)为连续函数，令
432? 7
?x[(t?1)t?(u)du]dt?0??0,x?0试讨论f(x)在x?0处的连续性与可微性。 f(x)??ln(1?x2)?0,x?0?连续，可微
2#37.设f(x)在[0,1]上可导，且满足f(1)?2?xf(x)dx，证必存在一点??(0,1)，使
f?(?)??f(?)120?。提示：利用积分中值定理和Rolle定理
#38.设f(x)在[0,1]上连续，单调减且取正值，证：对于满足0?????1的任何?,?有
??f(x)dx???f(x)dx。
0???提示：??f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx0??????0?????f(x)dx?(???)?f(x)dx?0??
?39.设f(x)在[0,??)上连续，单调不减且f(0)?0，试证：
?1xn?tf(t)dt,x?0在[0,??)上连续且单调不减。（n?0） F(x)??x?0?0,x?0?1140.?xln(1?ex)dx ?
?13原?x??t?1?1(?tln(1?e?t)dt??[?xln(1?ex)?x2]dx???xln(1?ex)dx??x2dx
?1?1?1111#41.设f(x)??1e?tdt，求?0xf(x)dx。?(e?1?1)
?b2?a2?11?xt?x??b1?2?3242.?tt?xdt ? 43.?xdx,(a?b)?22a0?a?b?1x?1t?x??3?2?2x?0
x22114x?044.设f(x)在(??,??)上连续，且对?x,y,f(x?y)?f(x)?f(y)，求
?1?1(1?x2)f(x)dx
提示：f(x)为奇函数 sin2xdx #45.I????1?e?x44? 8
sin2xsin2xe?xsin2x(e?x?1?1)sin2x提示：f(x)?,f(?x)????xx?x1?e1?e1?e1?e?xsin2x1222?sinx??sinx?f(x)f(x)?sinx
1?e?x21?原??4?sin2xdx?2?4?46.limx21
x?0x6ex3??????????r?14 47.设向量a?{2,?3,1},b?{1,?2,3},c?{2,1,2}，向量r满足r?a,r?b，且Prjc0tet?sintdt?求向量r。 {14,10,2}
48.1）求过z轴和点(?3,1,?2)的平面方程， x?3y?0 2）求过三点P(2,3,0),Q(?2,?3,4),R(0,6,0)的平面方程。 3x?2y?6z?12?0 49.求过点P(2,?1,?1),Q(1,2,3)且垂直于平面2x?3y?5z?6?0的平面方程。
?9x?y?3z?16?0
50.求过点A(3,1,?2)且通过直线L:x?4y?3z??的平面方程。8x?9y?22z?59?0 52151.求与平面2x?y?2z?5?0平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。
2x?y?2z?233?0
52.求过点M(2,4,0)且与直线L:??x?2z?1?0平行的直线方程。
?y?3z?2?0x?2y?4z?? ?23153.求点A(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影。 (?,,) 54.求过直线L:?522333?x?5y?z?0?且与平面x?4y?8z?12?0成角的平面方程。
4?x?z?4?0x?20y?7z?12?0
本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4的距离，该动点轨迹表示何种曲面？ x?y?8z?16 旋转曲面
四.列表讨论函数y?x?e的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。
9
?x221?x?sinx,0?x??#五.设f(x)??2，求?(x)??f(t)dt在(??,??)内的表达式。
0?0,x?0orx???
0,x?0?x?1?(x)??f(t)dt???(cosx?1),0?x??
0?21,x???dx六.设f(x)在(??,??)内连续，证明(x?t)f?(t)dt?f(x)?f(a)。 ?0dx七..设D1:y?2x,x?a,x?2,y?0;D2:y?2x,y?0,x?a,0?a?2 1.试求D1绕x轴旋转得旋转体体积V1；D2绕y轴旋转得旋转体体积V2； 2.问当a为何值时V1?V2得最大值？并求该最值。
224129V1??(32?a5)，V2??a4，a?1，(V1?V2)max??
55八.已知f?(sinx)?cos2x?tanx，求f(x)。
22sin2xu?提示：f?(sinx)?1?2sinx?， ?f(u)?1?2u?1?sin2x1?u22f(x)?x2?lnx?1?c
九.设y?c与y?2x?x相交于第一象限（如图）。 1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c；
2.在1的情况下，求区域I绕x轴旋转的旋转体体积。
提示：sI?sII?sI?III?sII?III，
2Y II C I (b,c) III 0 X 122cdx?(2x?x)dx?c?b?b，又c?2b?b2， ?0?03bb3?1333?y??x?,x?， ?b?,c?,?4122224?y?2x?x2?V?41?。 240??#十.设f(x)?x??0f(x)cosxdx，证：?0f(x)dx?
?22?2?。
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