图1.1车流波示意图 首先看波速公式的推导：
假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w（ w为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即：
(v1?w)K1t?(v2?w)K2t
w?V2K2?V1K1K2?K1
可解得
w?如图，
V2K2?V1K1K2?K1 (1.1)
1.3.2目标函数及约束条件
W1 S1 W2 S2 v1K1 v2,K2 v3 K3 P O 图1.2.汽车经过红灯前车流波的示意图
其中
S1,S2 由于红灯，绿灯所造成的车流的扰动而引起的车流波的波面， W1,W2 分别为两波的传播速度/m
V1 =V0 /3 在受到红灯车流波影响前的车的速度m/s
V2 =0 汽车在等红灯时的速度
V3 =V0 绿灯亮之后汽车离开的速度m/s K1,K2,K3 分别为三个阶段的车流密度 辆/km O 红绿灯的位置
P 车流波影响的最终位置，即波面S1,S2在此相遇 Tr,Tg 单位周期内红灯绿灯的时间
先讨论使得路口交通畅通时的约束条件，由前面的车流波和波速的概念可以求得
w1?v2K2?v1K1vK?11K2?K1K1?K2， (1.2) v3K3?v2K2vK?33K3?K2K3?K2 (1.3)
w2?如果要使得因红灯而停在马路口的车辆得以全部消散，要求：
W2> W1 (1.4) 又设从绿灯亮到所有车均消散开所经历的时间为
?t?w1Trw2?w1 (1.5)
则要求
?t?Tg (1.6)
由于车辆进入城区的方向与时间未定，假设车辆从两个垂直方向进入城区的事件分别为A，B，且有P(A)=P(B)=0.5，同时假设在汽车行驶的过程中不拐弯，即汽车在每个路口都只能往前行驶。
式1.5、1.6为模型的约束条件，除此之外还有非负约束。 如果要使车辆进入城区的用时极小，则使 Min E(t)=P(A)E(t|A)+P(B)E(t|B) (1.7)
式1.7为模型目标函数。
现在分别考虑E(t|A)和E(t|B)计算方法：
由于红绿灯有一个固定周期为(Tr+Tg)，现在假设汽车进入道路时红绿灯的相位x，x~U[0,1]，假设x?0的时刻为在汽车驶入城市道路的时候，离它最近
x(Tr?Tg)的第一个红灯刚好处于刚亮的状态，则当
Tr?1，表示汽车进入道路的瞬
x(Tr?Tg)间，红灯亮，而若
Tr?1，表示汽车进入道路的瞬间，绿灯亮。
则考虑到这样的周期性，可以有如下的划分：
图1.3. x相位时进入长为l的道路时，计算的划分 (1-x)(Tr+Tg)V0 (Tr+Tg)V0 … (Tr+Tg)V0 S 1 …… N O
其中假设道路的原长为l0，则有
l0?(1?x)(Tr?Tg)v0s?{}(Tr?Tg)v0(Tr?Tg)v0 (1.8)
图1.4.最后一次红灯亮时汽车可能的位置 S S S0 (Tr+Tg)V0 O
假设当红灯刚好亮的时候距红灯距离为S0的范围内，所有的车辆会受到红绿灯波的影响。
s0?K2w1(Tr??t)K2Trw2w1?K1K1w2?w1（将（1.5）代入）(1.9)
如果有S Ts?Tr?sK1sK1?K2w2K2v3 (1.10) 上式等式右边第一项表示等待红灯所需要的时间，第二项表示由于绿灯波的延迟所造成的时间差，而第三项表示从停车位置行驶到路口所花的时间。 Tr(x)?Ts?l0?sv0 (1.11) 此时的总的时间为 而如果S0< S<(Tr+Tg)V0时可以想象该车将不再受到红灯的影响，即它可以以它现在的匀速速度V0通过红绿灯路口。此时它通过该段路所用的时间为： Tg(x)?l0v0 (1.12) t(x|A)?p(r)?Tr(x)?p(g)?Tg(x)? （1.13） 1TglTrsK1sK1l0?s?[Tr???]??0Tr?TgK2w2K2v3v0Tr?Tgv0E(t|A)=?t(x|A)p(x)dx0 (1.14) 1同样的道理有 E(t|B)=?t(x|B)p(x)dx0 (1.15) 将p(x)=1以及上面两个式子代入(1.7)即可求解出问题的最优解。需要指出的是，1.15中的 1.4模型的计算结果 1.4.1数值求解 Tg即为1.14式中的Tr. 模型的优化变量为 TgTr、，根据不同约束条件下的结果，计算结果列于下表。 表1.1 不同车流密度k取值下优化结果 K11=120,K31=100;K12=100,K32=80 K11=140,K31=120;K12=120,K32=100 K11=120,K31=100;K12=90,K32=75 注：表中K下标第一位表示第几阶段的车流密度，第二位表示南北向或东西向。 上表的求解结果表明，对于本模型的优化目标函数，约束1.5，1.6均为松弛约束，或者说，模型的最优分配方案是红、绿灯周期尽可能地短。 显然，这样的求解结果与实际情况完全不同。导致问题的原因在1.4.2中讨论，下面仅从一点修正模型，即假设为了让行人有足够的时间通过马路，两个方向绿灯时间有下界，即将非负约束加强为某一正值下界约束。求解结果列于下表。 表1.2 不同下界约束下的优化结果 约束下界取值/s 10 20 30 Tg/s 10 20 30 Tr/s 10 20 30 0 0 0 0 Tg/s 0 Tr/s 0 可见该模型目标函数的结构将使得约束1.5、1.6保持满足，且模型的 优化结果将趋向于使红绿灯周期尽可能地小，这一点不应修正改变。 1.4.2模型的缺陷 该模型成立的一个必要条件是车流是连续的均匀流，才有了车流波的概念，但实际上由于司机的主观意识的影响，车的运动极不规律，也就是说实际中的车流难以满足连续均匀流这样苛刻的条件。如果以车的实际运动或者简化的加速减速进行计算，必然牵扯到微积分的计算，将使计算的难度将大大地提高。 在遭遇红绿灯前后车的减速和加速不可能是一个瞬间的突变的过程，同时车流密度K不可能仅仅是v的函数，也是随着v而连续变化的，这样的话，模型的推导必须以微积分的知识为基础。车流波的形式将变得很复杂，不再简单地满足该模型。 最为重要的一点是，根据1.4.1中的求解结果可以推测出，由于没有考虑到司机的反应时间，还有穿过马路的行人对交通的影响导致求解的结果是Tr和Tg越小得到的时间期望越低。但是在实际的运用中，如果Tr和Tg过小可能会导致出现绿灯期间没有车会通过马路或者没有行人能够通过人行道的情况。 参考文献 （1）杨树祺，道路交通常用数据手册，中国建筑工业出版社，2002年11月
