则依题意得
12?a?1?4 ??4分 3故a?23 ， ?AC?26 ?PA?12??6?2??7 ??7分
?CD∥AB，故直线PA与AB所成角的大小?为所求 ??9分
?cos??21721 ． ??12分 7
??arccos（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.文:
【解1】. 由 ?2b?c?cosA?acosC?0,
由正弦定理得?2sinB?sinC?cosA?sinAcosC?0 ??4分
?2sinBcosA?sin?A?C??0 ??5分
?0?A??,sinB?0,cosA?1?,?A?． ??7分 23【解2】. 由?2b?c?cosA?acosC?0，
b2?c2?a2a2?b2?c2余弦定理得?2b?c??a?0
2bc2abb2?c2?a21整理得b?c?a?bc， ?cosA??
2bc2222 ?0?A??,cosA?1?,?A?． 23（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
21. （1）【解】
①（理）若f?x??x3是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 即a2?x2??3?b时，对x?R恒成立 ??2分
第6页
而x2?a2?3b最多有两个解，矛盾，
因此f?x??x3不是“?函数” ??-3分 （文）若f?x??x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 即a2?x2???b时，对x?R恒成立 ??2分
而x2?a2?b最多有两个解，矛盾，
因此f?x??x不是“?函数” ??3分② 答案不唯一：如取a?0,b?1，恒有20?x20?x?1对一切x都成立， ??5分 即存在实数对?0,1?，使之成立，所以，f?x??2x是“?函数”． ??6分 一般地：若f?x??2x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得2a?x?2a?x?22a?b 即存在常数对a,22a满足f?a?x??f?a?x??b，故f?x??2x是“?函数”． （2）解 函数f?x??tanx是一个“?函数”
设有序实数对?a,b?满足，则tan?a?x??tan?a?x??b恒成立 当a?k?????2,k?Z时，tan?a?x??tan?a?x???cot2x，不是常数； ??8分
因此a?k???2,k?Z，当x?m???2,m?Z时，
tana?tanxtana?tanxtan2a?tan2x则有???b， ??10分 221?tanatanx1?tanatanx1?tanatanx即btan2a?1tan2x?(tan2a?b)?0恒成立，
????22??b?tana?1?0?tana?1?a?k??????所以?42??b?1??tana?b?0?b?1当x?m??k?Z ??13分
?2,m?Z,a?k???4时，tan?a?x??tan?a?x???cot?a??1
第7页
满足f?x??tanx是一个“?函数”的实数对?a,b???k??????,1?,k?Z 4? ??14分
22. 文:
(1) 【解】. 由x2?y得2p?1 所以 准线为y??1 ??3分 4(2) 【解】. 由x2?y得2p?1 所以,焦点坐标为??0,1??4?? 由A作准线y??14 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点P,A,Q共线时, AP?AF的最小值，为6?14?254, 此时A点的坐标为?2,4? (3)【解1】
设点M的坐标为?x,y?,BC边所在的方程为y?kx?1(k显然存在的), ① 又AM的斜率为yx,则有yx?k??1 ,既k??xy代入① 故M点轨迹为y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分) 【解2】
设点M的坐标为?x,y?,由BC边所在的方程过定点N(0,1), ?AM?(x,y),MN?(?x,1?y) ?AM?BC?0 ?AM?MN?0,
所以, ?x?x?y(1?y)?0, 既y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分)
23. 文:
（1）【解】由a1?1，an?1?f?an3n??3a2a得a2?,a3,a13?4?n?3573 ??4分 ??7分
??9分 ??10分
??14分
??16分??10分
??12分 ??16分 ??3分 第8页
（2）【解】由an?1?3an112?? ??8分 得
2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分
3?an?（3）【解】 由（2）得
122n?13?1??n?1??,an? ??11分 an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分
2?2n?12n?1?9?11111?9?1?1??????????1????? 2?3352n?12n?1?2?2n?1?当n?2时 ，bn?an?1an?所以Sn?b1?b2?????bn?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?229?1?1?99m?2011?n1?lim1?又?， ??，所以??随递增，且n???2?2n?1?22?2n?1?2?202 0 ?mmin ??18分 所以m?2020，
第9页
