保定三中2015——2016学年度第一学期4月月考
高二数学（理）试题
考试时间120分钟 分值150分
一、选择题（每题5分，共60分） 1．已知复数z?A.1?i
2i，则z的共轭复数是 （ ） 1?i
B.1?i
C.i
D.?i
2．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1?2,S3?12，则a6?( )
A.8 B.10 C.12 D.14
?x?2?0?3．设变量x,y 满足约束条件?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值为（ ）
?2x?y?3?0?（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
24．设x?R ，则“x?2?1 ”是“x?x?2?0 ”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 5．设a=log36,b=log510,c=log714，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 6．若tan?+1 =4,则sin2?=（ ） tan?A、1111 B、 C、 D、 5342x2y27．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x ab??的准线上，则双曲线的方程为（ ） x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1（C）??1（D）??1 （A）2128282134438．在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0)B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D?ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A．S1?S2?S3 B．S2?S1且S2?S3 C．S3?S1且S3?S2 D．S3?S2且S3?S1
1
9．若a?0且a?1,则函数y?(a?1)x2?x与函数y?logax在同一坐标系内的图像可能是( )
10．已知点P在曲线y=
4上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) ex?1(A)?0,?π3π??3π??π??ππ? (B) (C) (D),,π? ,??????244442????????2lnx?lnx?lnx211．设1?x?2，则,??,2的大小关系是（ ）
x?x?x2lnx?lnx?lnx2?lnx?lnxlnxA、??2 B、??????2
xxxxxx????222lnxlnx2?lnx?lnx?lnx?lnxC、? D、2?? ??2???xxxx?x??x?22?1?x?1,(x?1)f(x)??4??lnx,(x?1)则方程f(x)?ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是12．已知函数（ ） 11111(0,)(0,)[,e)[,)e B．4e C．4 D．4A．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生
中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 14．1?i?i2?i3????i2014? ． 15．?1?1(x2?1?x2)dx? ．
16．若等差数列{an}满足a7?a8?a9?0,a7?a10?0，则当n? 时，{an}的前n项和最大. 三、解答题（共70分）
17．（本小题满分10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求角C 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax3?x2?ax(a,x?R)． （1）当a?1时，求函数f(x)的极值；
2
（2）若f(x)在区间[0,??)上单调递增，试求a的取值或取值范围
19．（本小题满分12分）已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a1?1，S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?1，求数列{bn}的前n项和． anan?120．（本小题满分12分）在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，?ADC?90?，AB?AD?PD?1，CD?2.
P D A
B C
（Ⅰ）求证：BC?平面PBD；
????????（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ??PC，试确定?的值，使得二面角Q?BD?P为45?.
21．（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值. 22．（本小题满分12分）已知函数f(x)?kx，g(x)?32.2lnxx
（1）求函数g(x)?lnx的单调递增区间； x（2）若不等式f(x)?g(x)在区间（0,+?)上恒成立，求k的取值范围； （3）求证：
ln2ln3lnn1????? 4442e23n 3
保定三中2015——2016学年度第一学期4月月考
高二数学（理）答案
1．A【解析】解：因为z?2i2i(1?i)??1?i，因此共轭复数为1-i 1?i(1?i)(1?i)1?3?2d?12,?d?2.所以a6?2?(6?1)?2?12.故选C. 22．C试题分析：假设公差为d,依题意可得3?2?3．C
4．A【解析】x?2?1??1?x?2?1?1?x?3,x2?x?2?0?x??2或x?1，所以“x?2?1 ”是“x2?x?2?0 ”的充分不必要条件，故选A. 5．D试题分析：a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，又因为
log32?lg2lg2lg2，log52?，log72?，所以a?b?c，故选D． lg3lg5lg71sin?cos?sin2??cos2?116．D【解析】因为tan???????4，所以.sin2??. 12tan?cos?sin?sin?cos?sin2?2x2y2bb37．D【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的渐近线方程为y??x，由点2,3在渐近线上，所以?，aaba2双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x准线方程x??7上，所以c?7，由此可解得a?2,b?3，所以双曲??x2y2??1，故选D. 线方程为438．D 试题分析：三棱锥D?ABC在平面xoy上的投影为?ABC，所以S1?2，
D1，?OAD1，设D在平面yoz、则D?ABC在平面yoz、zox平面上的投影分别为D2、zox上的投影分别为?OCD2、
因为D1(0,1,2)，D2(1,0,2)，所以S2?S1?2，故选D. 9．A试题分析：当a?1时，抛物线开口向上，对数函数单调递增，又抛物线对称轴x?1?0，故选A.
2(a?1)?4ex?4?4?10．D【解析】 ∵y′=?x=, ?′=x21?e?1??e?1?ex?x?2e由于e+
x
11x
≥2当且仅当e=即x=0时等号成立,∴-1≤y′<0,即-1≤tanα<0, exex由正切函数图象得α∈?,π?.故选D.
?4??3π? 4
11．A试题分析：令f(x)?x?lnx(1?x?2)，则f?(x)?1?1x?1??0，所以函数y?f(x)(1?x?2)为增函xx2lnx?lnx?lnx数，∴f(x)?f(1)?1?0，∴x?lnx?0?0?.又?1，∴???xx?x?2lnx2lnx2lnx?xlnx(2?x)lnx?lnx?lnxlnx????0，∴???2， ?222xxxxxx?x?211，设切点为(x0,y0)，∴切线方程为y?y0?(x?x0)，∴xx01111
y?lnx0?(x?x0)，与y?ax相同，∴a?，lnx0?1?0，∴x0?e，∴a?.当直线与y?x?1平行
4ex0x0111113时，直线为y?x，当x?1时，lnx?x?ln1??0，当x?e时，lnx?x?lne?e?0，当x?e时，
4444411111所以y?lnx与y?x在(1,e)，所以直线在y?x和y?xlnx?x?lne3?e3?0，(e,e3)上有2个交点，
4444e11之间时与函数f(x)有2个交点，所以a?[,)，故选B.
4e12．B试题分析：∵y?lnx，∴y'?13．60．
14．i试题分析：由i??1,i24n?1,i4n?1?i,i4n?2??1i4n?3??i,又2014?4?503?2，可得
1?i?i?i????i15．?232014?i.
112?122．试题分析：?x2dx?x3|1，而根据定积分的定义可知1?xdx表示圆心在原点的单位圆上??1??1?1323312?2?半部分半圆的面积，∴?(x?1?x2)dx??，故填：?．
?1323216．8试题分析：由等差数列的性质，a7?a8?a9?3a8，a8?0，又因为a7?a10?0，所以a8?a9?0所以a9?0，所以S8?S7，S8?S9，故数列{an}的前8项最大. 17．C=? 6【解析】解：因为 cos(A?C)?cosB?1,?cos(A?C)?cos(A?C)?1,?2sinAsinC?1??a?2c?sinA?2sinCa>c,所以A>C,所以C为锐角，C=611联立方程组可知sin2C=?sinC=42?5??C=或66
32/218．（1）当a?1时，f(x)?x?x?x，∴f(x)?3x?2x?1，
令f/(x)?0，则x1?1，x2??1， 3x、f/(x)和f(x)的变化情况如下表
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