命题 5
证明：
设ABC是一个等腰二角形，边AB等于边AC，且延长AB，AC成 直线BD，CE.【共设2】
则可证角ABC等于角ACB，且角CBD等于角BCE.
在BD上任取点F，且在较大的AE截取一段AG等于较小的AF，【命题3】 连接FC和GB.【共设1】
因为AF等于AG，AB等于AC，两边FA ,AC分别等于边GA、AB，且它们包含着公共角FAG .
所以底FC等于底GB，且三角形AFC个等于三角形AGB，其余的角也分别相等，即相等的边所对的角，也就是角ACF等于角AGB，角AFC等于角AGB【命题4】
又因为，整体AF等于整体AG，且在它们中的AB等于AC，余量BF等于余量CG.
【公理3】
但是已经证明了FC等于GB；
所以，两边BF，FC分别等于两边CG、GB，且角BFC等于角CGB . 这里底BC是公用的;所以，三角形BFC也全等于三角形CGB; 又，其余的角也分别相等，即等边所对的角. 所以角FBC等于角GCB，且角BCF等于角CBG.
由以上已经证明了整个角ABG等于角ACF，且角CBG等于角BCF，其余的角ABC等于其余的角ACB。【公理３】
又它们都在三角形ABC的底边以上.
从而，也就证明了FBC等于角GCB，且它们都在三角形的底边以下。 证完。
? 【命题6】命题：在已知线段上(从它的两个端点)做作出相交于一点的二线
段，则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另外二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同端点的线段相等.
命题 6
证明：
因为，如果可能的话，在已知线段几召以上作出交于点C的两条线段AC、CB.设在儿AB同侧能作另外两条线段AD，DB相交于另外一点D.而且这二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同的端点。这样CA等于DA，它们有相1司的端点A，且CB等于DB，它们也有相同的端点B，连接CD。
因为，AC等一于AD，角ACD也等于角ADC。【命题5】 所以，角ADC大于角DCB，所以角CDB比角DCB更大。
又，因为CB等于DB,且角CDB也等于角DCB.但是已被证明了它更大于它:这是不可能的。
证完。
? 【命题7】命题：如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边并且
一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等.
命题 7
证明：
设.ABC，DEF是两个三角形，两边AB、AC分别等于两边DE 、DF，即AB等于DE，且
AC等于DF，又设底BC等于底EF. 则可证角BAC等于角EDF.
若移动三角形ABC到三角形DEF，且点B落在点E上，线段BC在EF上，点C也就和F重合.
事实上，BC等于EF .
故BC和EF重合，BA、AC也和ED，DF重合.
因为，若底BC与底EF重合，且边BA、AC不与ED，DF重合而落在它们旁边的及EG，GF处.
那么，在已知线段(从它的端点)以卜有相交于一点的已知两条线段，这时，在同一线段(从它的端点)的同一侧作出了交于另一点的另外两条线段，它们分别等于前面二线段，即每一交点到同一端点的连线。
但是，不能作出后二线段.【命题6】
如果把底BC移动到底EF，边BA，AC和ED，DF不重合，这是不可能的.因此，它们要重合。这样一来，角BAC也重合于角EDF,即它们相等.
证完。
? 【命题8】命题：二等分一个已知直线角。
命题 8
设角BAC是一个已知直线角，要求二等分这个角.
设在AB任意取一点D，在AC上截取AE等于AD;【命题3】连接DE，且在DE上作一个等边三角形DEF，连接AF.
则可证角BAC被AF所平分.
因为AD等于AE，且AF公用，两边DA，AF分别等于两边EA，AF 又底DF，等于底EF;
所以，角DAF等于角EAF【命题7】 从而，直线AF，二等分已知直线角BAC. 作完。
? 【命题9】命题：二等分已知有限直线.
命题 9
设AB是已知有限直线，那么，要求二等分有限直线AB. 设在AB上作一个等边一角形ABC【命题1】.
且设直线CD二等分角ABC .则可证线段AB被点D二等分.【命题8】 事实卜，由于AC等于CB，且CD公用，两边AC，CD分别等于两边BC，CD且角ACD等于角BCD
所以，底AD等于底BD。【命题4】 从而，将已知有限直线AB二等分于点D 作完。
? 【命题10】命题：由已知直线上的一已知点作一直线和已知直线成直角。
命题 10
证明：
设AB是已知直线，C是它边上的已知点。那么，要求由点C作一直想和直线AB成直角。
设在AC上任取一点D，且使CE等于CD。【命题3】 在DE上作一个等边三角形FDE。【命题1】 连接FC。
