2014年高考数学必考考点题型
命题热点一 集合与常用逻辑用语
集合这一知识点是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有三个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用. 在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用.
常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题和中档题，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。
2预测1. 已知集合A?x|2x?x?0，集合B?(a,b)，且B?A，则a?b的取
??值范围是
A.(?2,??) B.[?2,??) C.(??,?2) D.(??,?2]
2解析：化简A得A?x|2x?x?0??x|0?x?2?，由于B?A，所以????a?0，
?b?2于是a?b??2，即a?b的取值范围是[?2,??)，故选B.
动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等，解答时注意对集合进行合理的化简.
预测2. 若集合A??x|??1??2,x?R?，B??x|y?log3(1?x)?，则A?B等于 x?1212A.? B.(,1) C. (??,0)?(,1) D. (,1] 解析：依题意A??x|x?0或x?12??11?(??,0)?(,1).A?B?，所以,B?x|x?1???22?故选C.
动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题，是高考的热点题型.在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时，要注意充分利用数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解.
预测3. 已知命题p:?x?[0,围是
A. [?,?1] B. [?,2] C. [?1,2] D. [?,??)
解析：依题意，cos2x?cosx?m?0在x?[0,2?2],cos2x?cosx?m?0为真命题，则实数m的取值范
989898?2]上恒成立，即cos2x?cosx?m.142令f(x)?cos2x?cosx?2cosx?cosx?1?2(cosx?)?9?，由于x?[0,]，所以82 1
cosx?[0,1]，于是f(x)?[?1,2]，因此实数m的取值范围是[?1,2]，故选C.
动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，要说明它是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值使其成立即可，而要说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明.
预测4. “a?0”是“不等式x?ax?0对任意实数x恒成立”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：不等式x?ax?0对任意实数x恒成立，则有??(a)2?a?0，又因为
22a?0，所以必有a?0，故“a?0”是“不等式x2?ax?0对任意实数x恒成立”的
必要不充分条件.故选B.
动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识，是一个知识交汇的重要载体.解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、充要条件的概念，更重要的是要善于列举反例.
命题热点二 函数与导数
函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.
高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.
预测1. 函数f(x)?x?2ax?a在区间(??,1)上有最小值，则函数g(x)?区间(1,??)上一定
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
解析：函数f(x)图像的对称轴为x?a，依题意有a?1，所以
2f(x)在xg(x)?f(x)a?x??2a，g(x)在(0,a)上递减，在(a,??)上递增，故g(x)在xx(1,??)上也递增，无最值，选D.
动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着
较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值
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p(p?0)的单调性进行求解. x2x(x?0)的部分图像分别对 预测2. 如图，当参数?分别取?1,?2时，函数f(x)?1??x问题时，要善于运用基本不等式以及函数y?x?应曲线C1,C2，则有
A.0??1??2 B. 0??2??1 C.
解析：由于函数f(x)??1??2?0 D. ?2??1?0
2x的图像在[0,??)上连续不间断，所以必有?1?0,?2?0.1??x又因为当x?1时，由图像可知
22，故?1??2，所以选A. ?1??11??2动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.
预测3. 已知函数f(x)?e?mx的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线y?直的切线，则实数m的取值范围是 A. m??x1x垂211 B. m?? C. m?2 D. m?2 221'x解析：f(x)?e?m，曲线C不存在与直线y?x垂直的切线，即曲线C不存在斜
2xx率等于?2的切线，亦即方程e?m??2无解，e?m?2，故m?2?0，因此m?2. 动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化.
预测4. （理科）已知函数 为R上的单调函数，则实数a的取值范围是
A．[?1,0) B．(0,??) C．[?2,0) D．(??,?2)
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?a?0?解析：若f(x)在R上单调递增，则有?a?2?0，a无解；若f(x)在R上单调递减，
?a?2?1??a?0?则有?a?2?0，解得?1?a?0，综上实数a的取值范围是[?1,0).故选A.
?a?2?1?动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.
2??ax?1?x?0?（文科） 已知函数f?x???为R上的单调函数，则实数a的取值范x??(a?2)e?x?0?围是
A. (2,3] B.(2,??) C.(??,3] D.(2,3)
?a?0?解析：若f(x)在R上单调递增，则有?a?2?0，解得2?a?3；若f(x)在R上单
?a?2?1??a?0?调递减，则有?a?2?0，a无解，综上实数a的取值范围是(2,3].
?a?2?1?动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.
2预测5. （理科）设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0.（1）若b??12，求f(x)在[1,3]的最小值；（2）如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当n?N时，不等式ln解析：（1）由题意知，f(x)的定义域为(?1,??)，
n?1n?1?3恒成立. nn122x2?2x?12b??12时，由f(x)?2x???0，得x?2（x??3舍去），
x?1x?1//当x?[1,2)时，f(x)?0，当x?(2,3]时，f(x)?0，
所以当x?[1,2)时，f(x)单调递减；当x?(2,3]时，f(x)单调递增， 所以f(x)min?f(2)?4?12ln3；
/b2x2?2x?b??0在(?1,??)有两个不等实根，即（2）由题意f(x)?2x?x?1x?1/ 4
2x2?2x?b?0在(?1,??)有两个不等实根，
???4?8b?012设g(x)?2x?2x?b，则?，解之得0?b?；
2?g(?1)?0（3）对于函数f?x??x2?ln(x?1)，令函数h?x??x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，
13x3?(x?1)2?则h?x??3x?2x?，?当x?[0,??)时，h/?x??0， x?1x?1所以函数h?x?在[0,??)上单调递增，又h(0)?0,?x?(0,??)时，恒有h?x??h(0)?0，
1n?111?2?3恒成立. 即x2?x3?ln(x?1)恒成立.取x??(0,??)，则有lnnnnnn?111?2?3恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当n?N时，不等式lnnnn/2动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题
以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.
（文科）已知函数f(x)?ax?a?3lnx.（1）当a?2时，求函数f(x)的最小值；（2）x若f(x)在[2,e]上单调递增，求实数a的取值范围. 解析：（1）当a?2时，f(x)?2x?'2?3lnx，定义域为(0,??). x1232x2?3x?2'x?2x??f(x)?2?2??，令，得（舍去），当x变化时，f(x)?02xxx2f(x)，f'(x)的变化情况如下表:
x '(0,2) 2 (2,??)f(x) ? 0 ? f(x) 递减 极小值 递增 所以函数f(x)在x?2时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值f(2)?5?3ln2. （2）由于f(x)?a?'a3a3'?f(x)?a???0在[2,e]上恒成立. ，所以由题意知，x2xx2x3xax2?3x?a2a?ax?3x?a?0[2,e]?0即，所以在上恒成立，即.
x2?1x2 5
