柏拉图（约公元前427～前347）在雅典建立学派，创办学园。非常重视数学。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里德的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
这个时期的希腊数学中心还有以芝诺（约公元前496～前430）为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给思想界以极大的震动。这四个悖论是：①二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。②阿基琉斯（善跑英雄）追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上。③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。④运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。
以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。
公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段──初等数学时期。这个时期的特点，是数学（主要是几何学）已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。在这一时期里，初等几何、算术、初等代数大体已成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。
埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王（约公元前367～前285）的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。 亚历山大前期从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。
除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼（约公元前276～前195）的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯（公元前2世纪）制作“弦表”，是三角学的先导。
亚历山大后期公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦（约公元62）、门纳劳斯（约公元100）、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家C．托勒密（约85～165）将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。
晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100）和丢番图（约250）。前者是杰拉什（今约旦北部）地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何学原本》。
325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。公元415年，女数学家，新柏拉图学派的领袖希帕提娅（Hypatia）遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学有创造力的日子也随之一去不复返了。希腊数学至此告一段落。
四，欧几里德得宗教情怀
对于欧几里德来说，几何是非实用的，而是近神的，这与我们通常的理解刚好相反。所以把《几何学原本》当数学阅读，不如将其视之为诗歌或哲学，更接近欧几里德的动机。
欧几里德生活的时代之前的几百年间，是希腊思想鼎盛的时代，人们研究人自身的问题，人所面对的宇宙的问题，成为整个希腊的精神气质，构成了人类古远时代的知识份子的日常生活和基本话语，苏格拉底年轻的时，站在大街上，拉着过路的行人就要求辩论一番，以企图寻找人、人群、物质、精神等等存在的本来意义。众哲学家在思考人所居寄的宇宙到底是什么？人到底是什么要干什么？
为阐示宇宙的本质，灿若群星的哲学思想各自繁衍，要寻找世界的始基，构成宇宙的基本元素，万千复杂世界所依的根本，他们将整体的复杂还原为要素，要素的变化、过程、次序、排列、关系成为寻找对象。
巴门尼德则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西，按照他的描述，“存在着一条最后的边界，它在各方面都是完全的，好像一个滚圆的球体，从中心到每一个方面距离都相等”。黑格尔就讽刺说，巴门尼德弄出来的是“一片简单的阴影”。但也有后人讽刺黑格尔说，他弄出来的“不过是个上帝的身体”；德谟克利特也不相信，提出了自己的原子论，他坚信宇宙的本质是原子与虚空的结合，作为最小的存在，构成万物，找到原子的面貌，世界的本质就昭然若著了。他提出人的灵魂也是另一类原子的运动；赫拉克利特则不同意这一观点，他认为本质是火，万物皆流，无物常住，那变动不居的火就是世界的本质，流变就是世界的本质，那团不生不灭、永恒存在的“活火”啊主宰了我们的世界；阿那克西米尼却不同意，他认为本质是“气”；阿那克西曼德又不同意，他认为那基本元素虽然存在，但却不
具有任何定性，永远不能定名，也不能描述，他是不可知的一个元素。集哲学家、预言者、科学家和江湖术士为一身的恩培多克勒，则发现了“气”。他是观察倒着放瓶子入水中时水不能进入瓶子时，发现空气是一种存在的物质。于是认为土、气、火、水是世界的基本元素。的时发现的混合体这是早期的自然哲学。
苏格拉底却不同意这样的解释，他在方法上另辟蹊径，用苏格拉底法，即通过辩论问题中的矛盾清晰事物的结论获得真理，真理的累加最后通达整体的宇宙，苏格拉底的进步在于他已不把那“元素”或“始基”视为一种经验中的物质，而是抽象出他称为“真理”、“规律”、“理性法则”的东西。另一个类似的哲学家巴门尼德则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西。
他的思想直接影响了他的学生柏拉图；学生柏拉图更上层楼，在他的《理想国》里发明出“理念世界”一词，直接宣布，现实世界是个假象，是个影子，是理念世界的投影，攀登上理念世界的人必须借着理性的绳索，他对几何学抱着虔诚的敬神式的热情，因为他看到既能满足于一切物质和空间，又不受到时间腐蚀的点、线、面、角的规律之舞，“其品性接近于理念世界之物”，他几近相信，几何学可以修建通往理念世界的天梯。也就是说，柏拉图的元素或始基，是他描述的“理念世界”。柏拉图在他创办的雅典学院传播他的这些理论的时候，出现了一个杰出学生，亚里斯多德，这位跟了老师20年的学生，再上层楼，集古希腊哲学之大成，他把宇宙的实质定义为“本体”，放弃了自然哲学中的那种宇宙本原的寻求。并由此发明出范畴、分类、逻辑、属性、一般与个别、本质与现象、思维与存在、理性与感性、可能性与现实、不变与变等等的矛盾关系。
另一条线对欧几里德来说有些特别，这条线得从泰勒斯开始。泰勒斯生活在公元前600年左右，首先，他认为世界的本质元素是“水”，水开万物，水是万物的原质。当希腊神话成为大众的思想生活和精神生活的主流的时代，他却反希腊神话，他不能忍受杜撰故事来阐示造化天工，于是他转而观察自然界的各种法则，希望从自然界内部找到他的神，于是他首创了在自然元素中找宇宙答案的方法。人类最早的“证明命题”的方法，应归功于他。
毕达哥拉斯这位数学天才，由于他超常的数学智力，受到希腊公民的尊重，创建类宗教的哲学派别毕达哥拉斯学派，他认为万物皆数，数是宇宙的根本，找到数就找到了宇宙的本源。这显然意味着，认识世界从数开始；只要运用定量方法来识世界，就可以解开宇宙的终极秘密。但实际上当他发现无理数的存在时，自己已经发现他的思想基础已经被崩溃，只是由于恐惧于群众的力量而不敢于宣布。毕达格拉斯学派把数学从那些显然的具体应用中抽象出来，企图解释解释这个宇宙。他们发现勾股定理时的那种惊喜，无意于基督徒找到上帝存在的一个证据时的惊喜，他们还发现了不可公约量，五种正多面体的存在，并把算数和几何图形结合起来，这些都成了欧几里德《原本》奠基的重要榜样。
的确，在空间面前我们嗦嗦发抖。无论是在遥远的古希腊欧几里德时代，还是今天，我们对空间的认识，对宇宙的理解，最多也就迈出了蚂蚁般的一小步。我引用科学家数学家物理学家出生却反科学理性的法国思想家帕斯卡尔的一句话“在这永恒沉默的空间面前，我嗦嗦发抖。
这弥漫物质的空间，它的紧迫，它的压制，物质的盲目流动，它的到来和去向?? 苏格拉底、柏拉图师徒两怀着的深厚的几何学情节，是因为他们想借这一工具找到上帝，苏格拉底看到，物质的速朽性无常性使他自然联想到身体，再进一步联想到人的精神的属性，这时他看到了几何学的特别属性，不受时空的腐蚀，永恒的绝对的，这吻合了柏它图的绝对理念，只有上帝是绝对的，于是，几何学可以修筑通往上帝的天梯。数世纪以后，有人修建巴别塔，企图通往天国。毕达格拉斯学派同样抱着借数字之梯通向神的理想的情怀。
欧几里德本人，同样把几何学视为近神器物，这就产生了一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的奴隶倒给他三个硬币的著名故事。“几何学”一词汉语的定式翻译是不够好的，
不是圆满的译法，它失去了神性，“几何”一词，汉语指意为事物数字意义上的多少，用于反问句中。而希腊语的 是指“元素”、“原理”，意即我们这个世界的基本元素，宇宙的基本元素，构建这个宇宙的基础之因。这就是哲学中用的那个字“元素”、“始基”。点、线、面、距离、长度、角度出发描述的刚性空间，是宇宙的本样，甚至可能是神的本样；换句话说，从空间中抽离出来的点、线、面是一切事物的元素，所以是宇宙的元素。
二千年以后，欧几里德没有想到的是，靠几何学寻找上帝依旧渺茫，世俗性的应用却大规模地建造了人类的物质文明，工业革命后兴盛的人造物质，几何学起到了支撑性作用，按照欧几里德批评他那位世俗的学生的理想主义的思路，近现代社会，成为几何学的失败。
从这个角度讲，《原本》与其说是数学，不如说是描述宇宙的诗歌之舞，是一种宗教情怀，一种哲学。
五，毕达格拉斯的狂醉
虽然欧几里德不能考证他是否属于毕达格拉斯学派，但他对数学的虔诚却与这个学派一脉相通。
毕达哥拉斯，这个宣布万物皆数的人，简直是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。混和了一堆真理与荒诞。他的数学天才是帮助他理解世界秩序的狠铁不成钢的手段。他建立的巨大宗教社团，成为最早的共产主义形式，其权力大到控制了国家。这也说明古希腊民众对天才精英们的虔诚，因为他们希望在天才的带领下找到生命的意义，宇宙的秩序。毕达哥拉斯学派的根本教义是灵魂轮回，以及吃豆子的罪恶性。“首先，灵魂是个不朽的东西，它可以转变成别种生物；其次，凡是存在的事物，都要在某种循环里再生，没有什么东西是绝对新的；一切生来具有生命的东西都应该认为是亲属。”据说，毕达哥拉斯曾向动物不停地说话。
毕达哥拉斯教派的教规如下： 1．禁食豆子。
2．东西落下了，不要拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。 6．不要用铁拨火。 7．不要吃整个的面包。 8．不要招花环。 9．不要坐在斗上。 10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。 12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。 14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。
毕达格拉斯把数夸张到世人难以理解的神秘境地，他甚至把数与某些意义直接联合起来，比如，规定“二”表示意见，“四”是正义，“五”是结婚，“十”是完满，如此等等，的确让今人匪夷所思。
在他建立的团体里，不分男女都可以参加；财产是公有的，过着一种共同的生活， 即使是科学和数学的发现也认为是集体的，而且，在一种神秘的意义上，都得归功于毕达哥拉斯；甚至于在他死后也还是如此。赞美沉思生活的道德，数学的秩序便受到同于神的敬仰。他把这协荒诞的秩序同数学秩序结合在一起，当成钥匙，以解开世界之门。
在这个世界上，我们都是异乡人，身体乃灵魂之坟墓，然而我们决不可以自杀以 求逃避；因为我们是上帝的所有物，上帝是我们的牧人，没有他的命令我们就没权利逃 避。在现世生活里有三种人，正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作 买卖的人都属于最低的一等，比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而，最高的一种乃 是那些只是来观看的人们。因此，一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学，唯有献 身于这种事业的人，亦即真正的哲学家，才真能使自己摆脱生之巨轮。
为毕达哥拉斯所鼓舞的人们，一直保存着一种狂醉式的启示的成份。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好象是很奇怪的；然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自然的，纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正象音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。
欧几里德有着同样的狂醉，他不关心豆子和白公鸡，却对物质的物理数性结构迷狂，在他看来，找到这个数性结构，就找到了宇宙的基本“元素”、“始基”，万物基始于点、线、面、角以及它们的滋生繁衍、它们的相互构成很转换，宇宙的舞蹈就是它们的数字舞蹈。所以，我读中学课本，坚挺地认为数学起因于实际应用的观点，是不正确的，它更起源于人的精神困惑，起源于对浩渺宇宙的描述欲望。
希腊数学产生了数学精神。即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关 重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。所以伽利略就直接说“数学是上帝的语言”。毕达格拉斯将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。
六，埃利亚的芝诺的狂醉
一开始，就有在哲学上反欧几里德方向的。先于欧几里德百年的芝诺，发出了巨大的嘲讽之声，按罗素的说法，迄今人们也还不能真能懂得这个芝诺的哲学意义。虽然亚里斯多得批判了他，但罗素却对他的批判进行了批判。
芝诺是巴门尼德的学生兼朋友,他不满于赫拉克利特万物皆流的理论，创造出一套悖论（可惜他的著作没有流传下来）,后人知道的仅有8个,比如如下4个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论，还没有一个哲学家敢轻易对此下结论。
芝诺（约公元前490年~公元前425年）生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，身材魁梧而美观，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作家看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作（论自然）时，这样说道：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将他窃去，以至我不能决断，是否应当让它问世。”芝诺不象他的老师那样企图从正面去证明是一不是多，是静不是动，他常常从反面即归
