欧几里德的数学情怀
――译者导言
一，欧几里德生事
欧几里德大约生活在约公元前330－前275年之间。除“几何学原本”外，还有不少著作，如“已知数”、“图形的分割”、“纠错集”、“园锥典线”、“曲面轨迹”、“观测天文学”等，遗憾的是除了《几何学原本》以外，这些都没有保成下来，消失在时空的黑暗之中了。从某个意义上说，这增加了人类的黑暗。仅留世的《几何学原本》，已让我们震撼了２千余年。
欧几里德的生平也已失传，稀少的记载表明，早年在雅典受教育，熟知柏拉图的学说。公元前３００年左右，受托勒密王（前３６４-前２８３）之邀，到埃及统治下的亚历山大城工作，长期从事教学、研究和著述。涉猎数学、天文、光学和音乐等诸领域方面。后人知道的一部《几何学原本》，共有１３卷，希腊文原稿也已失传，现存的是公元４世纪末西翁的修订本和１８世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。这部西方世界现存最古老的科学著作，为２０００年来用公理法建立演绎的数学体系找到了源头。德摩根曾说，除了《圣经》，再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者，被译成如此多种语言。从１４８２年到１９世纪末，《原本》的各种版本竟用各种语言出了１０００版以上。明朝万历年间(１６０７)，徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版，定名为“几何学原本”。“几何”这个数学名词就是这样来的。《几何学原本》同时也是中国近代翻译的第一部西方数学著作。康熙皇帝将这个仅有前６卷的版本书当成智力玩具，把玩了一生，但估计其理解也十分有限。
古籍中记记载了两则故事：托勒密国王问欧几里德，有没有学习几何学的捷径，欧几里德答道：“几何无王者之道。”意思是，在几何学里没有专门为国王铺设的大路。这句话成为千古传诵的箴言。另一个故事说：一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何之后将得到些什么。欧几里德对身边的奴隶说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这两则故事的，与他的光辉著作一样，别有高深的含义。
二，《几何学原本》的贡献
《几何学原本》从少数“自明的”定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。成为人类文明的一块极至瑰宝，开造了人类认识宇宙空间，认识数量关系的源头，为人类历史上的科学杰作。这位希腊古典文化哺育起来的学者，运用惊人的才智，完成了演绎知识体系。逻辑并不是欧几里德开创的，而是另一个希腊天才亚里斯多德，他得著名的水段论，开创了逻辑的基本面貌，提出了逻辑的基本建构。欧几里德是第一个将三段论应用于实际的知识体系构建的人，他铸造了一部完整的逻辑演绎体系。使逻辑得以具体的形状。他构成了希腊理性最完美的纪念碑。他的贡献就像太阳一样光辉灿烂。
两千余年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何学原本》作为根据。“欧几里德”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里德几何学。
《几何学原本》对世界数学的贡献主要是：确立了数学的基本方法学。1. 建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法。2.将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。３，创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。
相对《原本》中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。《原本》的丰碑性还在于，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，人类的知识建构，找到了一个有效的方法。整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此。
三，《几何学原本》介绍
在《几何学原本》中，欧几里德首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整体大于部分”以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富夺彩。比如有平面作图，勾股定理，余弦定理，园的各种性质， 空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体，棱锥、棱柱、园锥、园柱，球等问题，此外还有比例的理论，正整数的性质与分类，无理量等等。公理化结构是近代数学的主要特征，而“几何学原本”则是公理化结构的最早典范。欧几里德创造性地总结了他以前的古希腊前人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此内在联系的有机的宏伟大厦。
书共分 13 卷，有 5 条公设、5 条公理、119 个定义和 465 个命题，构成历史上第一个数学公理体系。各卷的内容大致可分类如下： 第一卷 几何基础篇 23 个定义、48 个命题；另外提出了 5 条公设和 5 条公理，但之后就再没有加入新的公设或公理。 几何代数 以几何方式研究代数公式。例如：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。 圆形及正多边形 讨论圆形的性质和正多边形的绘画方法。 比例论 相似图形 数论 探讨偶数、奇数、质数、完全数等性质。 不可公度量 共有命题 115 个，是最冗长、最富争议性但最精密的一卷。 第二卷 第三及第四卷 第五卷 第六卷 第七、八、九卷 第十卷 第十一至第十三卷 立体几何 探讨立体几何中的定理，并证明祇有五种正多面体的现象。 关于重要命题。《几何学原本》中涉及到诸多重要命题。比如命题 I.47陈述：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹于直角两边上正方形面积之和。”这就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何学原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。 命题 II.12陈述：“在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另
一边所构成的矩形。”命题 II.13陈述：“在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角的二边上的正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角之间一段与该边所构成的矩形。”此二命题（ II.12 及 II.13 就是现） 就是“余弦定律”。 命题 VII.1：“设有不相等的二数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直作下去，若余数总是量不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互质。”命题 VII.1：提供了一个求最大公因子的方法。被后人称为“欧几里德算法”即“辗转相除法”。命题 IX.1：如果一个数是被一些质数能量尽的最小者，那么，除原来量尽它的质数外任何另外的质数量不尽这数。这表示一个数仅能以一种方法分解为质因子之积。现代数学称这命题为“唯一分解定理”或“术基本定理”。 命题 IX.20：预先任意给定几个质数，则有比它们更多的质数。这一命题极重要。它指出质数有无穷多个。
关于命题的逻辑关系。《几何学原本》中命题间的逻辑关系，甚至乎比现代教科书还高。为了清晰这一关系，千年来的各种语文版本，多附有数学家们对逻辑关系的注解。
关于公理和公设。演绎法，它的基本精神是由简单现象去证明较复杂的现象，在数学中同样也遵循这一原理。这一理论里，逻辑推理虽然至关重要，但更重要的，是我们必须接受一些简单的现象作为我们的“起点”，是明显的“自明”的道理，而欧几里德将这些“起点”命名为“公设”和“公理”。以下就是《几何学原本》中的 5 条公设和 5 条公理：
公 设
1. 由任意一点到任意一点可以作直线。 2. 一条有限直线可以继续延长。
3. 以任意的点为圆心及任意的线段为距离可以画圆。 4. 凡直角皆相等。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线某一侧的两个内角之和小于二直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
公 理
1. 等于同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，其和仍相等。 3. 等量减等量，其差仍相等。 4. 彼此能够重合的物体是全等的。 5. 整体大于部分。
虽然以公理为起点演绎几何的方法，并非为欧几里德首创，首创的应该是他之前的泰勒斯，但是《几何学原本》中的公设和公理，却全部都由欧几里德所创造和筛选。这一天才智力令任观止！
关于第５公设及非欧几何学。欧几里德的不完美，诞生了新的几何学，这是从第５公设开始的。这条公设不同于其他９条，简洁、明白，而是有言语迟钝，仿佛些力不从心的样子。形式上也不像公设，倒像一个命题。因此，自《几何学原本》诞生后，就有无数的数学家研究这条公设，并试图找出证明这公设的方法。可惜，一直以来，他们的尝试都失败！到了十九世纪，匈牙利数学家波尔约和俄国数学家罗巴切夫斯基分别地发表了一套与第 5 公设相反的几何体系，从而证明了第 5 公设确实是一条“公设”，不能被证明或否定。与此同时，这两位数学家亦为我们带来一个全新的数学世界 —— 非欧几何学。
关于圆面积及球体体积公式 。《几何学原本》中并没有圆面积或球体体积的计算
公式，但从十二卷中，可以找到一些相关命题：命题XII.2：圆与圆之比如同直径上正方形之比。命题XII.18：球的比如同它们直径的三次比。在欧几里德之后，另一个希腊天才阿基米德提出球体体积公式。阿基米德应用了一种近乎于现代微积分的计算手法，推算出有关的算式，并成功地计算出圆周率小数后两个位的数值。
四，希腊数学背景
希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术。在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛以外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前五六世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上滋生了光辉灿烂的希腊文化。
希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约当公元前7世纪中叶到公元前3世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里德起到公元前146年希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。
伊奥尼亚学派从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，
有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、吕底亚（今土耳其西部）两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯（今希腊东部小岛）。为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪（约公元前500～前300）之久。这个学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关。他们还发现五种正多面体。在天文方面，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空中。毕达哥拉斯还是音乐理论的始祖。
伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。
智人学派诞生于公元前5世纪，此值雅典的黄金时代，文人荟萃，辩论会遍地，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，
使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、?边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法。和中国的刘徽（约263年前后）的割圆术思想不谋而合。
