||f(x)?f(y)||?k||x?y||r，
则f在D上连续，且一致连续．
证 这里只需直接证明f在D上一致连续即可．
?????0,??????0，对任何x,y?D，只要满足||x?y||??，便有
?k?1?r||f(x)?f(y)||?k||x?y||r??．
由于这里的?只与?有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f在D上一致连续． □ １０．设D??n,f:D??m．试证：若f在点x0?D连续，则f在x0近旁局部有界．
证 由f在点x0连续的定义，对于??1，???0，当x?U(x0;?)时，满足
||f(x)||?||f(x0)||?||f(x)?f(x0)||?1?||f(x)||?1?||f(x0)||，
所以f在x0近旁局部有界． □ １１．设f:?n??m为连续函数，A??n为任一开集，B??n为任一闭集．试问
f(A)是否必为开集？f(B)是否必为闭集？为什么？
解 f(A)不一定为开集．例如
f(x)?sinx,x?(??,?)．
这里A?(??,?)为开集，但f(A)?[?1,1]却为闭集．
当B为有界闭集时，由连续函数的性质知道f(B)必为闭集且有界．但当B为无界 闭集时，f(B)就不一定为闭集，例如
f(x)?arctanx,x?(??,??)．
这里B?(??,??)可看作一闭集，而f(B)???１２．设D??n,?:D??n．试举例说明：
?????,?却为一开集． □ 22? 16
（１）仅有?(D)?D，?不一定为一压缩映射；
（２）仅有存在q(0?q?1)，使对任何x?,x???D，满足
||?(x?)??(x??)||?q||x??x??||，
此时?也不一定为一压缩映射．
解 （１）例如?(x)?x?1,x?[0,??)．这里D?[0,??)为一闭域，它虽然满足?(D)?[1,??)?D，但因|?(x?)??(x??)|?|x??x??|，所以?不是压缩映射．（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由x?1?x无解，即?没有不动点，故?不是压缩映射．）
（２） 例如?(x)?x?1,x?D?[?1,1]．它虽然满足 21|?(x?)??(x??)|?|x??x??|(q?0.5)，
2但因?(D)???13?,??D，故此?仍不是一个压缩映射． □ ?22?１３．讨论a,b取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：
（１）?1(x)?x,x?[a,b]； （２）?2(x)?x2,x?[?a,a]； （３）?3(x)?x,x?[a,b]； （４）?4(x)?ax?b,x?[0,a]．
解 （１）由|?1(x?)??1(x??)|?|x??x??|，可知对任何a,b，?1在[a,b]上都不可能是压缩映射．
（２）首先，只有当0?a?1时，才能使
?2([?a,a])?[0,a2]?[?a,a]．
其次，由于对任何x?,x???[?a,a]都有
|?2(x?)??2(x??)|?|x??x??|?|x??x??|?2a|x??x??|，
因此只要取0?q?2a?1，即0?a?（３） 由?3([a,b])?[1，就能保证?2在[?a,a]上为一压缩映射． 2a,b]?[a,b]，可知0?a?1?b．再由
|x??x??|1?|x??x??|，
x??x??2a17
|x??x??|?
又可求得
a?111，即a?．所以，当取?a?1?b时，就能保证?3在[a,b]424上为一压缩映射．
（４） 由于a?0，因此可由
0?b?ax?b?a2?b?a，
解出a2?a（ 即0?a?1），b?0．
再由|ax??b?ax???b|?a|x??x??|，可见只要0?a?1,b?0，就能保证?4在[0,a]上为一压缩映射． □ １４．试用不动点方法证明方程x?lnx?0在区间?1/2,2/3?上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．
解 若直接取?(x)?x?(x?lnx)??lnx，则因
|??(x)|?13??1,x??1/2,2/3?， x2可知?在?1/2,2/3?上不是压缩映射．为此把方程改写成x?e?x，并设
?(x)?x?(x?e?x)?e?x．
由于在?1/2,2/3?上 |??(x)|?|?e?x|?1e?1，且
?(?1/2,2/3?)?[e?2/3,e?1/2]??1/2,2/3?，
所以?(x)?e?x在?1/2,2/3?上为一压缩映射，且在?1/2,2/3?上有惟一不动点．
取x0?1/2，按xk?1?e?xk迭代计算如下：
k xk k xk k xk
０ １ ２ ３
0.5 0.6065 0.5452 0.5797
4 5 6 7
0.5601 0.5712 0.5649 0.5684
?
15 16 17
?
0.5672 0.5671 0.5671
所以，方程x?e?x即x?lnx?0的解（精确到四位有效数字）为
x??0.5671 ． □
18
１５．设 f:B??n，其中B?x??n|?(x,x0)?r为一个n维闭球（球心为．试证：若存在正数q(0?q?1)，使对一切x?,x???B，都有 x0）
??||f(x?)?f(x??)||?q||x??x??||，
||f(x0)?x0||?(1?q)r，
则f在B中有惟一的不动点．
证 显然，只需证得了f(B)?B，连同条件便知f在B上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：
?x?B,y?f(x)．由||x?x0||?r，以及题设条件的两个不等式，得到
||y?x0||?||f(x)?f(x0)||?||f(x0)?x0||?q||x?x0||?(1?q)r?qr?(1?q)r?r.这表示y?f(x)?B，即f(B)?B． □
19
