《数学分析选论》习题解答2
第 二 章 连 续 性
１． 设x,y??n，证明：
||x?y||2?||x?y||2?2(||x||2?||y||2)．
证 由向量模的定义， ||x?y||?||x?y||?222(x?y)?(x?y)?ii?ii
i?1nn2ni?1 ?2i?1?(xi2?yi2)?2(||x||2?||y||2)． □
?2． 设S??n,点x??n到集合S的距离定义为
?(x,S)?inf?(x,y)．
y?S证明：（１）若S是闭集，x?S，则?(x,S)?0； （２）若S?S?Sd( 称为S的闭包 )，则
S?x??n|?(x,S)?0．
证 （１）倘若?(x,S)?0，则由?(x,S)的定义，?yn?S，使得
???(x,yn)?1,n?1,2,?． n因 x?S，故yn?x，于是x必为S的聚点；又因S是闭集，故x?S，这就导致矛盾．所以证得?(x,S)?0．
（２）?x?S．若x?S，则?(x,S)?0显然成立．若x?S，则x?Sd（即x为
S的聚点），由聚点定义，???0,U?(x;?)?S??，因此同样有
y?Sinf?(x,y)??(x,S)?0．
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反之，凡是满足?(x,S)?0的点x，不可能是S的外点（ 若为外点，则存在正数?0，使U(x;?0)?S??，这导致inf?(x,y)??0?0，与?(x,S)?0相
y?S矛盾）．从而x只能是S的聚点或孤立点．若x为聚点，则x?Sd?S；若x为孤立点，则x?S?S．所以这样的点x必定属于S．
综上，证得 S?x??n|?(x,S)?0 成立． □ ３．证明：对任何S??n，Sd必为闭集．
证 如图所示，设x0为Sd的任一聚点， 欲证x0?Sd，即x0亦为S的聚点．
这是因为由聚点定义，???0,?y，使得 y?U(x0;?)?Sd．
再由y为S的聚点，?U(y;?)?U?(x0;?)，有
??U?(x0;?)
S
Sd
x0 ?? ?U(y;?)
U?(y;?)?S??．
于是又有U(x0;?)?S??，所以x0为S的聚点，即x0?Sd，亦即Sd为闭集． □ ４．证明：对任何S??n，?S必为闭集．
证 如图所示，设x0为?S的任一聚点，欲证x0??S，即x0亦为S的界点． U ? (x 0 ;? ) 由聚点定义，???0,?y，使
? x0 y?U(x0;?)??S．
S
? 再由y为界点的定义，?U(y;?)?U(x0;?)，
U(y;?) 在U(y;?)内既有S的内点，又有S的外点．由此?S 证得在U(x0;?)内既有S的内点，又有S的外点，所以x0为S的界点，即?S必为闭集． □ ?５．设S??n，x0为S的任一内点，x1为S的任一外点．证明：联结x0与x1?? 12
的直线段必与?S至少有一交点．
证 如图所示，把直线段x0x1置于一实轴上，并 为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示．下面用区间套方法来证明x0x1??S??．
? x1 S ? y ?x ?0 ?a1?b1记[a1,b1]?[x0,x1],c1?．若c1??S，
2??S 则结论成立；若c1为S的内点，则取[a2,b2]?[c1,b1]；若c1为S的外点，则取
an?bn（ 不妨设[a2,b2]?[a1,c1]．一般地，用逐次二等分法构造区间套：记cn?2，并取 cn??S）
?[cn,bn],cn为S的内点,[an?1,bn?1]??n?1,2,?．
[a,c],c,n为S的外点?nn此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点an恒为S的内点，右端点bn恒为S的外点．现设liman?limbn?y，下面证明y??S．
n??n?? 由区间套定理的推论，???0，当n足够大时，[an,bn]?U(y;?)，因此在
U(y;?)中既含有S的内点（例如an)，又含有S的外点（例如bn），所以x0x1上的
点y必是S的界点． □ ６．证明聚点定理的推论２和推论３．
（１） 推论２ ?n中的无限点集S为有界集的充要条件是：S的任一无限子集必 有聚点．
证 ［必要性］ 当S为有界集时，S的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接 推知结论成立．
［充分性］ 用反证法来证明．倘若S为无界集，则必能求得一个点列?Pk??S, 使得lim||Pk||???．这个?Pk?作为S的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故Sk??为有界集． □
（２）推论３ ?n中的无限点集S为有界闭集的充要条件是：S为列紧集，即S
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的任一无限子集必有属于S的聚点．
证 ［必要性］ 因S有界，故S的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是S的聚点，而S为闭集，故子集的聚点必属于S．
［充分性］ 由上面（１）的充分性证明，已知S必为有界集．下面用反证法再来证明
S为闭集．
倘若 S 的某一聚点 S ，则由聚点性质，存在各项互异的点列 ?P k? ? S ，使 P?k??limPk?P．据题设条件，?Pk?的惟一聚点P应属于S，故又导致矛盾．所以S的
所有聚点都属于S，即S为闭集． □ ７．设X??n,f:X??m,A,B?X．证明：
（１）f(A?B)?f(A)?f(B)； （２）f(A?B)?f(A)?f(B)；
（３）若f为一一映射，则f(A?B)?f(A)?f(B)．
证 （１）?y?f(A?B),?x?A?B,使y?f(x)．若x?A,则y?f(A)； 若x?B,则y?f(B)．所以，当x?A?B时,y?f(x)?f(A)?f(B)．这表示
f(A?B)?f(A)?f(B)．
反之，?y?f(A)?f(B),?x?X,使y?f(x)．若y?f(A),则x?A；若
y?f(B),则x?B，于是x?A?B．这表示y?f(x)?f(A?B)，亦即
f(A?B)?f(A)?f(B)．
综上，结论f(A?B)?f(A)?f(B)得证．
（２）?y?f(A?B),?x?A?B,使f(x)?y.因x?A且x?B，故
f(x)?f(A)且f(x)?f(B)，
即 y?f(x)?f(A)?f(B),亦即 f(A?B)?f(A)?f(B)．
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然而此式反过来不一定成立．例如f(x)?x2,A?[?2,1],B?[?1,2]，则有
f(A)?f(B)?f(A)?f(B)?[0,4]； A?B?[?1,1],f(A?B)?[0,1]．
可见在一般情形下，f(A)?f(B)?f(A?B)．
（３）?y?f(A)?f(B)，?x1?A,x2?B，使y?f(x1)?f(x2)．当f为 一一映射时，只能是x1?x2?A?B，于是y?f(A?B)，故得
f(A)?f(B)?f(A?B)．
联系（２），便证得当f为一一映射时，等式f(A)?f(B)?f(A?B)成立． □ ８．设f,g:?n??m,a??n,b,c??m，且
x?alimf(x)?b,x?alimg(x)?c．
证明：
（１）lim||f(x)||?||b||,且当||b||?0时可逆；
x?a（２）lim[f(x)g(x)]?bc．
x?a?T证 设
f(x)??f1(x),?,fm(x)??,g(x)??g1(x),?,gm(x)??，
a?[a1,?,an]?,b?[b1,?,bm]?,c?[c1,?,cm]?．
利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道
x?alimfi(x)?bi,limgi(x)?ci,i?1,2,?,m．
x?a（１）lim||f(x)||?limx?ax?af12(x)???fm2(x)?b12???bm2?||b||．
x?a当||b||?0时，由于||f(x)||?||b||?||f(x)||，因此由lim||f(x)||?0，推知
x?alimfi2(x)?0,i?1,2,?,m，即得
x?alimf(x)?0．
（２）类似地有
x?alim[f?(x)g(x)]?lim[f1(x)g1(x)???fm(x)gm(x)]x?a?b1c1??bmcm?bc? □
.９．设D??n,f:D??m．试证：若存在证数k,r，对任何x,y?D满足
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