3．设某产品在t时期的价格为Pt，供给量与需求量分别为St与Dt满足如下关系St?2Pt?1，
Dt??4Pt?1?5，St?Dt，其中t?1,2,?
（1）推导Pt满足的差分方程；（2）在P0?1的初始条件下，求它的特解。
四．设Yt，Zt，Ut分别是下列差分方程的解yt?1?ayt?f1(t)，yt?1?ayt?f2(t)，
yt?1?ayt?f3(t)，求证zt?Yt?Zt?Ut是下列差分方程的解：yt?1?ayt?f1(t)?f2(t)?f3(t)
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高等数学练习题 第十二章 微分方程
系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习 题
一．选择题 1．已知函数y1?ex2?1x2， y2?ex2?1x2，y3?e1(x?)2x，则 （ C ）
（A）y1与y2线性相关 （B）y2与y3线性相关 （C）y1与y3线性相关 （D）它们两两线性相关 2．若连续函数f(x)满足关系式f(x)? （A）eln2 （B）e二．填空题
x2x?2x0tf()dt?ln2，则f(x)? （ B ） 2ln2 （C）ex?ln2 （D）e2x?ln2
y?1(1?x2)[ln(1?x2)?1]212 1．已知曲线过点(0,?)，且其上任一点(x,y)处切线斜率为xln(1?x)，则曲线为
21x?4?C||4 2．ydx?(x2?4x)dy?0的通解为 y x
x 3．微分方程y??ytanx?cosx的通解为 y ? ( x ? C )cos 11x?xy?(C?Cx)e?(x?)e12x4 4．微分方程y???2y??y?xe的通解 4
三．将所给的微分方程与其相应的类型用线连接起来
（1）xy3dy?[y?xy(1?lnx)]dx?0 （a）一阶线性齐次微分方程 （2）(1?x)2dy?xydx?0 （b）一阶线性非齐次微分方程 （3）
?x0?2y(t)?t2?y2(t)?dt?xy(x) （c）可分离变量的微分方程
??2（4）xdy?3ydx?xdx （d）齐次微分方程 （5）
dy?1?x?y2?xy2 dx（6）xy??y?x2ex 四．计算题
1．求微分方程 (y?x)dx?2xdy?0的通解
21x 解：原方程可化为y??y??,2x2
所以，通解为：y?Cx?1x35
3 72
2．设可导函数?(x)满足
?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1, 求?(x)
0x 解：两边求导得：??(x)?tanx?(x)?secx,且?(0)?1. 方程的通解为：?(x)?Ccosx?sinx,
当x?0时，?(0)?1，所以C?1,所以?(x)?cosx?sinx.
求微分方程y???y??2x2?1的通解。
解 将方程写作y???y??(2x2?1)e0x。因为??0是特征方程?2???0的单根，所以原方程一个特解形式为
y*(x)?ax3?bx2?cx，
将此解代入原方程，得
3ax2?(2b?6a)x?(c?2b)?2x2?1，
比较两端同次项的系数，有
3a?2,2b?6a?0,c?2b?1。
解上述方程组，得
a?从而得到原方程的一个特解
2,b??2,c?5。 323x?2x2?5x。 3y*(x)?又因为相应齐次方程y???y??0的通解为
y?C1?C2e?x。
所以原方程的通解为
y?C1?C2e?x?
23x?2x2?5x。 3另解：方程y???y??2x2?1两端积分，得
y??y?这是一个一阶线性微分方程，其通解为
23x?x?C1， 3 73
2y?e?x(C2??(x3?x?C1)exdx)32?C1?C2e?x?x3?2x2?5x?5
32?C1?C2e?x?x3?2x2?5x。3
3．设f(x)?sinx??(x?t)f(t)dt，其中f(x)为连续函数，求函数f(x)
0x 解：两边求导得：f?(x)?cosx?xf(t)dt,且f(0)?00
??? 再求导得：f(x)??sinx?f(x),且f(0)?1,2 微分方程的特征方程为：??1?0,所以??0,??1, 齐次微分方程的通解为：y?C1cosx?C2sinx,? 设该方程的特解为：y*?x(Acosx?Bsinx),则
?2Asinx?2Bcosx??sinx.
11 所以A?,B?0,特解为:y*?xcosx,22
1 所以方程的通解为：y?C1cosx?C2sinx?xcosx.2
?五．已知某商品的需求价格弹性为对价格的需求函数。 dQPEQ??P(lnP?1)，且当P?1时，需求量Q?1，试求商品EPdQ解：由题意得方程：???P(lnP?1),分离变量得：??(lnP?1)dPdPQQC两边积分得：lnQ??PlnP?C,所以Q?P,P当P?1时，Q?1,所以C?1,1所以商品需求量对价格的函数为：Q?P.P 74
