的高等数学练习题 第九章 微分方程与差分方程
系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程（一）
一．选择题
1．微分方程xyy???x(y?)3?y4y??0的阶是 （ A ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2．微分方程
y??2y?0的通解是 （ C ）
（A）y?Csin2x （B）y?4e2x （C）y?Ce2x （D）Y?Cex
3．微分方程y\?11?y(y?)2?0的通解是 （ C （A）Cx （C）CCx1ex?C2 （B）e?C2e1?1 （D）Cx1e?C2x
4．下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 （ C （A）xsin(xy)dx?ydy?0 （B）y??ln(x?y)
（C）dydx?xsiny （D）y??1xy?exy2 5．微分方程dxy?dyx?0满足yx?3?4的特解是 （ B （A）3x?4y?7 （B）x2?y2?25 （C）x2?y2?25 （D）y2?x2?7
二．填空题
1．微分方程xyy??1?x2的通解是 y 2 ? 2ln | x |? x 2 ? C
? 2．微分方程y??y1?x2满足yx?0??的特解是y(1)??earctan1??e4
3．ds1?s2 dt?1?t2的通解是 s ? t ? C 三．计算题
1． 求cosydx?(1?e?x)sinydy?0的通解
ex解：原方程可化为 tanydy??1?exdx积分，得 ln|coys?|l?ne(1x?)C l 故，方程的通解为 |coys?|C?(1exC)?,，即cosy?C(1?ex),C?R
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） ） ） 2．求微分方程ydx?x2dy?4dy?0，满足yx?4?2的特解
解：原方程可化为
dydx ??2yx?414x?21x?2ln|?|Cln即 y4?C x?24x?216 34 积分得 ln|y?| 当yx?4?2时，C? 方程的满足条件的特解为 y?16x?2，
3x?23．已知需求的价格弹性E??为需求Q的函数。
1，又当Q?0时，P?100，试确定价格函数，即将价格P表Q2EQP1dP?Q?(P)??2?QdQ??EPQQP21C 两边积分得Q2??lnP?C1?eQ?22P1?Q210000?当Q?0时， P?100,?C?10000?价格函数为P??100e2Q2e解：由题意知：E?
4．一曲线通过(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。 解：设曲线上任一点为M(x,y)，则以该点为切点的切线在x轴，y轴上的截距，依题意应为2x
与2y， 即
dyy?? ， ydxxx?2?3
解方程得 xy?C 把y(2)?3代入，得C = 6 故 所求的曲线方程为 xy?6
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高等数学练习题 第十二章 微分方程
系 专业 班 姓名 学号 第二节 一阶微分方程（二）
一．选择题
1．下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 （ B ） （A）xy??y2?x （B）y??x4y?sinx （C）yy??x （D）(y?)2?xy?0 2．微分方程xy??y?3的通解是 （ C ） （A）y??3x?C （B）y?3x?C （C）y??Cx?3 （D）y?Cx?3 3．满足方程f(x)?2?x20f(t)dt?x的解是f(x)? （ B （A）?12e?2x?x?12 （B）12e?2x?x?12 （C）Ce?2x?x?112 （D）Ce?2x?x?2 574．已知微分方程y??P(x)y?(x?1)2的一个特解为y?23(x?1)2，则方程的通解为（ C 77 （A）C(x?1)?2?2(x?1)2 （B）C(x?1)?2?2(x?1)2311 （C）C(x?1)2?273(x?1)2 （D）C(x?1)2?2711(x?1)2
二．填空题
1．微分方程xy??y?y2?x2?0的通解是 y ? y2 ? x2 ? Cx2
2．微分方程y??x?y，满足y2?2x2(lnx?2)yxyx?1?2的特解为
3．微分方程y??ytanx?cosx的通解为 y ? ( x ? C )cos x
三．计算题
1． 求微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0的通解
解：方程可化为：
dxdy?xylny?1y ，以y为变量的方程 11 x?e??ylnydy(?1?e?ylnydydy?C) ?e?lnlny1y(?y?elnlnydy?C)
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）
）
?11112lnyC (?.lnydy?C) ?(lny?C) ??lnyy2lnylny222．求微分方程(y?6x)dy?2y?0的通解 dx解：方程可化为：
dx3y?x?? dyy23 所以 x?e?ydyyy??ydyy1(???edy?C)?e3lny(???e?3lnydy?C)?y3(???3dy?C)
22y231y2?y(?C)??Cy3
2y23 3．设f(x)为连续函数，由
?tf(t)dt?x0x2?f(x)所确定，求f(x)
?f( x)，
)?2x?解：对积分方程两边求导数得 xf(x即 f?(x)?xf(x)??2x 且f(0)?0
f(x)?e?xdx(??2xe??xdxdx?C)?e(??2xex22?x22dx?C)?e(2ex22?x22?C)?2?Ce
x22 当x?0时，f(x)?0代入上方程得C??2 故 f(x)?2?2e
四．巳知生产某产品的固定成本是a?0，生产Q单位的边际成本与平均单位成本之差为：?且当产量的数值等于a时，相应的总成本为2a，求总成本C与产量Q的函数关系。
x22Qaa，Q解：由题意得C?(Q)??e?P(Q)dQC(Q)Qa??QaQ1Q?e??QdQ1?e?lnQ?Qa11?)dQ?AQ?Q2?a(A为常数)aQQa1?当Q?a时,C(Q)?2a?A?0?C(Q)?Q2?aa?C(Q)?AQ?Q?(
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高等数学练习题 第十二章 微分方程
系 专业 班 姓名 学号 第三节 二阶常系数线性微分方程的解法（一）
一．选择题
1．已知y1?cos?x，y2?3cos?x是方程y????2y?0的解，则y?C1y1?C2y2 (C1,C2为 任意常数) （ B ） （A）是方程的通解 （B）是方程的解，但不是通解 （C）是方程的一个特解 （D）不一定是方程的解．
2．具有特解y1?e，y2?2xe的二阶常系数齐次线性方程是 （ B ） （A）y???9y?0 （B）y???6y??9y?0 （C）y???9y?0 （D）y???6y??9y?0
3．微分方程y???4y??29y?0，y|x?0?0，y?|x?0?15的特解是y? （ C ） （A）3(e?2x?1)cos5x （B）5(e?2x?1)cos3x （C）3e?2x3x3xsin5x （D）5e?2xsin3x
二．填空题
1. 微分方程y???2y??3y?0的通解是
y?C1e?x?C2e3x(C1,C2为常数)?3xy?(C?Cx)e(C,C为常数)122．微分方程y???6y??9y?0的通解是 123．方程y(4)2x?2xsin ? C 2 e ? C 3 2 x ? C 4 cos2x(C1,C2,C3,C4为常数)?4y?0的通解y?C1e4．具有特解y1?e和y?exx?2x的二阶常系数齐次线性方程为
y???y??2y?0 5．设y?e(C1cos2x?C2sin2x)为某方程的通解，其方程为 三．计算题
1．求方程y???y?的通解
解：特征方程为 r?r，得特征根为 r1?0,r2?1 所以方程的通解 y?C1?C2ex
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