《数学分析（1，2，3）》教案
（ii）infS?min{infA,infB}.
证 由于S?A?B显然也是非空有界数集，因此S的上、下确界都存在．
（i）对任何x?S，有x?A或x?B?s?supA或x?supB，从而有x?max?supA,supB?，故得supS?max?supA,supB?.
另一方面，对任何x?A，有x?S?x?supS?supA?supS;；同理又有supB?supS．所以
supS?max?supA,supB?．
综上，即证得supS?max?supA,supB?．
(ii)可类似地证明．
推论：若把??和??补充到实数集中，并规定任一实数a与??、??的大小关系为：a???，a???,?????,则确界概念可扩充为：若数集S无上界，则定义??为S的非正常上确界，记作
supS???；若S无下界，则定义??为S的非正常下确界，记作infS???．相应地，前面定义2和定
义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界．
推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的). 定理4 单调有界数列必收敛.
证明 不妨设?an?为有上界的递增数列．由确界原理，数列?an?有上确界，记a?sup?an?．下面证明事实上，任给??0，按上确界的定义，存在数列?an?中某一项aN，使得a???aN．又a就是?an?的极限．
由?an?的递增性，当n?N时有
a???aN?an．
另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an都有an?a?a??．所以当n?N时有
a???an?a??，
即liman?a．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．
n??三 区间套定理
区间套: 设{ [ an , bn ] }是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ> 对? n, 有 [ an?1 , bn?1 ]?[ an , bn ]; ⅱ> bn?an?0, (n??).
则称该闭区间序列??an,bn??为闭区间套，简称区间套。
这里性质（?）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：
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《数学分析（1，2，3）》教案
a1?a2???an???bn???b2?b1. （1） 注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.
( ?1 )n2111例：{ [ ? , ] }和{ [ 0 , ] }都是区间套.但{ [ 1? , 1? ] }不是.
nnnnn定理5（区间套定理） 若??an,bn??是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点?，使得???an,bn?，
n?1,2,?，即
an???bn， n?1,2,?. （2） 证 由（1）式，?an?为递增有界数列，依单调有界定理，?an?有极限?，且有 an??,n?1,2,?. （3） 同理，递减有界数列?bn?也有极限，并按区间套的条件（??）有
limbn?liman??， （4）
n??n??且 bn??,n?1,2,?. （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的?是唯一的。设数??也满足 an????bn,n?1,2,?, 则由（2）式有
?????bn?an,n?1,2,?. 由区间套的条件（??）得 故有????.
由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：
推论 若???an,bn?(n?1,2,?)是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的?>0，存在N>0，使得当n>N时有
?????lim(bn?an)?0，
n???an,bn??U??；??．
????1??n?? 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如??0,??，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且lim??0??0，但不存在属于所有开区间的公共点.
?
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?1n??n??《数学分析（1，2，3）》教案
四 致密性定理
定义2 设S为数轴上的点集，?为定点(它可以属于S，也可以不属S)．?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点．
例如，点集S??(?1)n??有两个聚点?1??1和?2?1；点集S???只有一个聚点??0；又若S为
??1?n??1??n?开区间?a,b?，则?a,b?内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集??没有聚点，任何有限数集也没有聚点．
聚点概念的另两个等价定义如下：
定义2’ 对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U0(?;?)?S??，则称?为S的一个聚点．
定义2” 若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为S的一个聚点
n??关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下．
定义2?定义2’是显然的，定义2” ?定义2也不难得到；现证定义2’ ?定义2” 设?为S(按定义2’)的聚点，则对任给的??0，存在x?U??;???S．
?令?1?1，则存在x1?U??;?1??S；
?令?2?min?,??x1?，则存在x2?U??;?2??S，且显然x2?x1；
??1?2????
令?n?min??1?,??xn?1?，则存在xn?U???;?n??S，且xn与x1,?,xn?1互异。 ?n? 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列?xn?，且由??xn??n?1，易见limxn??。
n??n 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．
定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点． 证 因S为有界点集，故存在M?0，使得S???M,M?，记?a1,b1????M,M?
现将?a1,b1?等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为?a2,b2?，则?a1,b1???a2,b2?且
b2?a2?1?b1?a1??M 2 再将?a2,b2?等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为?a3,b3?，则?a2,b2???a3,b3?，且
b3?a3?1?b2?a2??M 223-8
《数学分析（1，2，3）》教案
将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列??an,bn??，它满足
?an,bn???an?1,bn?1?,n?1,2,?,
bn?an?M?0 ?n??? n?12 即??an,bn??是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一点???an,bn?，n?1,2,?,．于是由定理5的推论，对任给的??0，存在N?0，当n?M时有?an,bn??U??;??．从而U??;??内含有S中无穷多个点，按定义2，?为S的一个聚点．
推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列．
证 设?xn?为有界数列．若?xn?中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.
若?xn?不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集?xn?至少有一个聚点，记为?。则存在?xn?的一个收敛子列(以?为其极限). 推论 若?xn?是一个无界数列，则存在子列xnk??。
证明 取界为k ,则存在着一个项xnk位于xnk?1之后，则有xnk?k。（前面有限个项是有界的）。 五 Cauchy收敛原理
定理6 数列{ xn }收敛 ? ???0,?N?N?,当n,m?N时，有xn?xm??。
证 充分性
设数列?an?满足柯西条件．先证明?an?是有界的．为此，取??1,则存在正整数N，当m=N+1及n>N时有
an?aN?1?1.
由此得an=an?aN?1?aN?1?an?aN?1?aN?1?aN?1?1.令 M=maxa1,a2,?,aN,aN?1?1, 则对一切正整数n均有an?M.
于是，由致密性定理，有界数列?an?必有收敛子列ank,设limank=A．对任给的?>0，存在K>0，当
k??????m,n,k>K时，同时有
an?am??2(由柯西条件)，
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《数学分析（1，2，3）》教案
ank?A?因而当取m=nk(?k?K)时，得到
?2(由limank?A).
k?? an?A?an?ank?ank?A?这就证明了liman?A.
n???2??2??.
注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。 例：设xn?1?111????，证明?xn?发散。 23n取1/2，N，m=2n.
六 有限覆盖定理
复盖: 先介绍区间族G?{ I? , ??? }.
定义 (复盖 )：设E是一个数集,G是区间族.若对? x?E, ????, 使得x?I?, 则称区间族G复盖了E, 或称区间族G是数集E的一个复盖. 记为E??I?, ???.
?定义 (开复盖 )：数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复盖,简称为E的一个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例 若函数f在（a,b）内连续，则给定?>0，对每一点x?(a,b)，都可确定正数?x(它依赖于?与x)，使得当
x??U(x;?x)时有f(x?)?f(x)〈?．这样就得到一个开区间集
H=(x??x,x??x)x?(a,b), 它是区间(a,b)的一个无限开覆盖．
定理8 (海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间?a,b?的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖?a,b?
证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖?a,b?．
将?a,b?等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为?a1,b1?，则?a1,b1???a,b?，且b1?a1???1?b?a?． 2 再将?a1,b1?等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为?a2,b2?，则?a2,b2???a1,b1?，且b2?a2?1?b?a?． 22重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足
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