《数学分析（1，2，3）》教案
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
§1. 关于实数的基本定理
前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个
命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理：
1实数戴德德公理 确界原理
2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理
5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理
一 子列
定义 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且n1?n2???nk??,则数列
an1,an2,?,ank,?
称为数列?an?的一个子列,简记为{ank}.
注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。
注2 由定义可见，?an?的子列ank的各项都选自?an?，且保持这些项在?an?中的先后次序．ank中
的第k项是?an?中的第nk项，故总有nk?k．实际上?nk?本身也是正整数列?n?的子列．
例如，子列?a2k?由数列?an?的所有偶数项所组成，而子列?a2k?1?则由?an?的所有奇数项所组成．又?an?本身也是?an?的一个子列，此时nk?k，k?1,2，?.
注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项后得到的子列，称为?an?的平凡子列；数列?an?与它的任一
平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列．例如?a2k?和?a2k?1?都是?an?的非平凡子列．
注4 子列的下标不是nk而是k,表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。 定理 数列?an?收敛的充要条件是：?an?的任何非平凡子列都收敛．
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《数学分析（1，2，3）》教案
证 必要性 设liman?a，ank是?an?的任一子列．任给??0，存在正数N，使得当k?N时有
n????ak?a??．由于nk?k，故当k?N时更有nk?N，从而也有ank?a??，这就证明了ank收敛(且
与?an?有相同的极限)．
充分性 考虑?an?的非平凡子列?a2k?，?a2k?1?与?a3k?．按假设，它们都收 敛．由于{a6k}既是?a2k?，又是?a3k?的子列，故由刚才证明的必要性，
??lima2k?lima6k?lima3k． （9）
k??k??k??又?a6k?3?既是?a2k?又是?a3k?的子列，同样可得
lima2k?1?lima3k. （10）
k??k??(9)式与(10)式给出
lima2k?lima2k?1.
k??k??所以?an?收敛
若数列?an?的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与?an?必收敛于同一个极限．于是，若数列?an?有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列?an?一定发散．例如数列??1?成的子列??1??n?，其偶数项组
?2n?收敛于
1，而奇数项组成的子列??1??2k?1?收敛于—1，从而???1??发散.再如数列
n?n???2k?1??n??k?1???1，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列sinsin??????sin?发
2?22???????散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具． 例：证明 ?sin??n???不收敛。 3?推论：若对任何?xn?：xn?x0,xn?x0,都有f?xn?收敛，那么f?x?在x0的极限存在。
证明：若存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，则此列不收敛，与前提矛盾。 注意与归结原则的区别。 二 上确界和下确界
1 区间与邻域
设a、b? R，且a?b．我们称数集{x|a?x?b}引为开区间，记作(a,b)；数集{x|a?x?b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a?x?b}和{x|a?x?b}都称为半开半闭区间，分别记作[a,b)和(a,b]．以上这几类区间统称为有限区间．
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??《数学分析（1，2，3）》教案
无限区间:[a,??)?xx?a ,(??,a]?{x|x?a},(a,??)?{x|x?a},
??(??,a]?{x|x?a},(??,??)?{x|???x???}?R都称为无限区间．
有限区间和无限区间统称为区间．
设a?R，??0．集合U(a;?)?{x|x?a??}?(a??,a??).称为点a的?邻域，记作U(a;?)，或简单地写作Ｕ(a).
?点a的空心?邻域定义为U(a;?)?{x|0?x?a??},或简单地记作U(a) ，注意
?U?(a;?)与U(a;?)的差别在于: U?(a;?)?{x|0?x?a??}不包含点a．
此外，我们还常用到以下几种邻域：
点a的?右邻域U?(a;?)?[a,a??)，简记为U?(a); 点a的?左邻域U?(a;?)?(a??,a]，简记为U?(a);
(U?(a)与U?(a)去除点a后，分别为点a的空心?左、右领域，简记为U??(a)与U??(a)．)
?邻域U(?)?{x|x?M}，其中M为充分大的正数(下同)； ??邻域U(??)?{x|x??M}，??领域U(??)?{x|x??M}．
2 有界集.确界原理
定义 设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切x?S，都有x?M(x?L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集． 例 证明数集N??{n|n为正整数}有下界而无上界．
证 显然，任何一个不大于1的实数都是N?的下界，故N?为有下界的数集．
为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数no(?N?)，使得no?M事实上，对任何正数M(无论多么大)，取n0??M??1，则no?N?，且no?．这就证明了N?无上界．
同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集． 定义 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的上界；
（ii）对任何???存在xo?S，使得xo??即?又是S的最小上界 则称数?为数集S的上确界，记作??supS
定义 设S是R中的一个数集．若数?满足： （i）对一切x?S，有x??，即?是S的下界
（ii）对任何???，存在xo?S，使得xo??,即?又是S的最大下界，则称数?为数集S的下确界，记作 ??infS
上确界与下确界统称为确界．
例 设S?{x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： supS?1,infS?0.
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解 先验证supS?1:
（i）对一切x?S，显然有x?1即1是S的上界．
(ii)对任何??1，若??0，则任取xo?S都有xo??；若??0，则由有理数集在实数集中的稠密性，在(?,1)中必有有理数xo即存在xo?S，使得xo??．
类似地可验证infS?0
定理2 由上(下)确界的定义可见，若数集S存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集S存在上、下确界，则有infS?supS．
注2 数集S的确界可能属于S，也可能不属于S． 例 设数集S有上确界．证明:??supS?S???maxS
证 ?)设??supS?S，则对一切x?s有x??，而??S，故?是数集S中最大的数，即，
??maxS．
?)??maxS，则??S；下面验证??supS． （i）对一切x?S，有x??，即?可是S的上界；
（ii）对任何???，只须取xo???S，则xo??从而满足??supS的定义．
可达与不可达
定理3(确界原理) 设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界． 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．
为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数．由于S有上界，故可找到非负整数n，使得 1?对于任何x?S有x?n?1; 2?存在a0?S,使a0?n.
对半开区间?n,n?1?作10等分,分点为n.1,n.2,?,n.9,则存在0,1,2,?,9中的一个数n1,使得 1)对于任何x?S有x?n.n1?1； 10 2)存在a1?S，使a1?n.n1．
1)作10等分，则存在0,1,2,?9中的一个数n2使得 101 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?2
10 再对半开区间[n.n1,n.n1?2)存在a2?S，使a2?n.n1n2.
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继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在0,1,2,?9中的—个数nk，使得 1)对于任何x?S有x?n.n1n2?nk?1 k10 2)存在ak?S，使 ak?n.n1n2?nk.
将上述步骤无限地进行下去，得到实数??n.n1n2?nk?.．以下证明??supS．为此只需证明： （i）对一切x?S有x??；（ii）对任何???，存在?'?S使??a'．
倘若结论（i）不成立，即存在x?S使x??，则可找到x的k位不足近似xk，使
xk??k?n.n1n2?nk?从而得
1， 10kx?n.n1n2?nk?但这与不等式(1)相矛盾．于是（i）得证．
1， k10 现设???，则存在k使?的k位不足近似?k??k，即
n.n1n2?nk??k，
根据数?的构
a'?S使a'??k，从而有
a'??k??k??，
即得到??a'，．这说明（ii）成立．
例 设A,B为非空数集，满足：对一切x?A和y?B有x?y．证明：数集A有上确界，数集B下确界，且
supA?infB ?2?
证 由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B 的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界．
现证不等式(2)对任何y?B，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义 知，supA是数集A的最小上界，故有supA?y．而此式又表明数supA是数集
B的一个下界，故由下确界定义证得supA?infB．
例 设A,B为非空有界数集，S?A?B．证明： （i）supS?max{supA,supB}；
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