111
S△AED＝S△PAD＝××2×4＝2.
222114
VC－ADE＝S△AED·CD＝×2×2＝.
333
(理)(2010·山东文，20)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA， ∴PD⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC， ∵ABCD为正方形，∴BC⊥DC. ∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点， ∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.
(2)不妨设MA＝1，∵ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2， 又∵PD⊥平面ABCD，
18
所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. 33由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 112
三棱锥VP－MAB＝×?×1×2?×2＝.
3?2?3所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.
14．(文)(2010·北京顺义一中月考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，AD＝2，SA＝AB＝1.
(1)求证：PD⊥平面SAP； (2)求三棱锥S－APD的体积．
[解析] (1)∵SA⊥平面ABCD，PD?平面ABCD，
∴SA⊥PD，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，P为BC中点， ∴AP⊥PD，∵SA∩AP＝A，∴PD⊥平面SAP. 1111(2)易求AP＝2，PD＝2，∴VS－APD＝S△APD·SA＝××2×2×1＝. 3323(理)(2010·山东曲阜一中)如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求三棱锥C－BGF的体积． [解析] (1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC， 又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF， 又∵BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.
(2)由题意可得，G是AC的中点，连接FG， ∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，又∵BC＝BE， ∴F是EC的中点，
1
∴在△AEC中，FG∥AE，FG＝AE＝1，
2∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF 1
在Rt△BEC中，BF＝CE＝CF＝2，
21
∴S△BCF＝×2×2＝1，
2
11
∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△BCF·FG＝.
33
15．(文)(2010·合肥市质检)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.
(1)求证：D′F⊥AP； (2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积． [解析] (1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E， ∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F. (2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形， ∴D′E＝DE＝EF＝2， 2∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP， ∴D′E⊥平面ABCP， 13∵S梯形ABCP＝×(1＋2)×1＝，
2212∴VD′－ABCP＝×D′E×S梯形ABCP＝.
34
(理)如图(1)，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如(2)．
(1)求四棱锥D－ABCE的体积； (2)求证：AD⊥平面BDE.
[解析] (1)取AE的中点O，由题意知，
AB＝2AD＝2a，ED＝EC， ∴AD＝DE，∴DO⊥AE， 又∵平面ADE⊥平面ABCE， ∴DO⊥平面ABCE. 在等腰Rt△ADE中，AD＝DE＝a，DO＝13又S梯形ABCE＝(a＋2a)a＝a2， 2211322∴VD－ABCE＝S梯形ABCE·DO＝·a2·a＝a3. 33224(2)连结BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a， 2a， 2 ∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB， 由(1)知，DO⊥平面ABCE， ∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O ∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD， 又∵AD⊥DE，∴AD⊥平面BDE.
