213π
2×(π×2×1)＝4π，圆环面积S3＝2×?π×??2－π×??2?＝，??2??2??2∴几何体的表面积S＝4π＋3π＋4π3π25π
＋＝dm2. 22
[点评] 解决这类问题的关键是由三视图探求该几何体的形状．本题中的几何体两端是相同大小的半球，还有两个大小相同的圆柱，中间有一个圆柱．值得注意的是：通过观察三视图知道，三个圆柱的底面是和半球的圆面重合或平行的，并且中间圆柱的底面与两端圆柱的底面有一部分重合．只有了解了几何体的结构形状才能保证运算准确．
(理)(2010·北京东城区)如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为( )
A．29cm C．32cm [答案] A
[解析] 如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得
B．30cm D．48cm
9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)， ∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.
[点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得空闲部分的体积相等， ∴π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．
8．(文)(2010·北京文，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积．( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关 C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关 [答案] C
1[解析] 设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴3点Q到直线EF的距离为定值2，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关、与y无关，故选C. (理)(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积( )
A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 [答案] D
[解析] 这道题目延续了北京近年高考的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，1
△EFQ的面积永远不变，为矩形A1B1CD面积的(与x，y的值无关)，而当P点变化(即z变
4
化)时，它到平面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化． 二、填空题
9．(2010·广州市)有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为______． [答案]
2
3
142π
[解析] 到点O的距离小于等于1的点组成以O为球心的半球，V半球＝×π×12＝，V
233
2π－圆柱＝π×12×2＝2π，故所求概率p＝2π2π
32＝. 310．(文)(2010·金华十校)球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1各面都相切，则球O的体积为________． [答案]
4π 3[解析] 球O的直径等于正方体的棱长2， ∴R＝1，∴V＝4π4πR3＝. 33(理)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________． [答案]
53π 271
[解析] 阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V＝π×12×33＝3π， 3
4π?3?43π×??3＝， 3?3?273π43π53π
－＝. 32727
球体积V1＝
故所求体积为
11．(2010·北京崇文区)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．
[答案] 24＋23 [解析] 由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高为4，故其表面积S＝2×
3
×22＋2×3×4＝24＋23. 4
12．(文)(2010·皖南八校联考)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积为________． [答案] 4cm3 [解析] 由三视图可知，此几何体为底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD，其中侧棱PA与底面ABCD垂直，其直观图如图，底面的面积为6cm2，此四棱锥的高为h＝2cm，所以此四棱1锥的体积为×6×2＝4cm3. 3
(理)(09·辽宁)某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)． 则该几何体的体积为________m3.
[答案] 4
[解析] 由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如图所示．
∴PF＝2，CE＝3，AB＝4， 11∴V＝×2××3×4＝4(m3)． 32三、解答题 13．(文)(2010·江苏盐城)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点． 求三棱锥C－ADE的体积．
[解析]
PA⊥平面ABCD??
??CD⊥PA
CD?平面ABCD??
CD⊥AD AD∩PA＝A
?
??CD⊥平面PAD. ?
∴CD为三棱锥C－ADE的高，在Rt△PAD中，
