专题一 实数
(一) 实数的有关概念 1. 概念:
(1)有理数: 和 统称为有理数。
(2)相反数:只有 不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数,则 。
(3)数轴:规定了 、 和 的直线叫做数轴。
(4)倒数:乘积 的两个数互为倒数。若a(a≠0)的倒数为(5)绝对值:
1a.则 。
代数定义:
a (a>0 )
∣a∣= 0 (a=0 )
-a (a<0)
几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
(6)无理数: 小数叫做无理数。 (7)实数: 和 统称为实数。 (8)实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:
正整数 0 整数
(有限或无限循环性数) 负整数 有理数
正分数 分数
负分数 实数
无理数(无限不循环小数)
正无理数 负无理数
整数
有理数 正数 无理数
实数 0
有理数 负数 无理数
说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)
分数 整数 分数
2)有标准
3.科学记数法、近似数和有效数字
n
(1)科学记数法:把一个数记成±a×10的形式(其中1≤a<10,n是整数)
(2)近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 (3)有效数字:从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都
叫做这个数字的有效数字。 (二) 实数的运算:
1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则:
①同号两数相加,取__ __的符号,并把__ __
②绝对值不相等的异号两数相加,取___ __的符号,并用 ___ ___。互为相反数的两个数相加得_ _。 ③一个数同0相加,__ __。
(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上__ _。 (3)有理数乘法法则:
①两数相乘,同号_ _,异号__ __,并把__ 。任何数同0相乘,
都得__ __。
②几个不等于0的数相乘,积的符号由__ __决定。当__ ___,积为负,当___ __,积为正。 ③几个数相乘,有一个因数为0,积就为___ . (4)有理数除法法则:
①除以一个数,等于___ ___.__ __不能作除数。
②两数相除,同号_ _,异号_ _,并把_ _。 0除以任何一个
____________________的数,都得0
(5)幂的运算法则:正数的任何次幂都是___________; 负数的__________是负数, 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则:
先算________,再算__________,最后算___________。 如果有括号,就_______________________________。 2.实数的运算顺序:在同一个算式里,先 、 ,然后 ,最后 .有括号时,先算 里面,再算括号外。同级运算从左到右,按顺序进行。 3.运算律
(1)加法交换律:_____________。 (2)加法结合律:____________。 (3)乘法交换律:_____________。 (4)乘法结合律:____________。 (5)乘法分配律:_________________________。 4.实数的大小比较 (1)差值比较法:
a?b>0?a>b,a?b=0?a?b,a?b<0?a< b (2)商值比较法:
若a、b为两正数,则
(3)绝对值比较法:
ab>1?a>b;
ab?1?a?b;ab<1?a<b
若a、b为两负数,则a>b?a<b;a?b?a?b;a<b?a>b (4)两数平方法:如15?5.三个重要的非负数:
5与13?7
(三)数的开方和二次根式
1.平方根与立方根
2
(1)如果x=a,那么x叫做a的 。一个正数有 个平方根,它们互为 ; 零的平方根是 ; 没有平方根。
(2)如果x=a,那么x叫做a的 。一个正数有一个 的立方根;一个负数有
一个 的立方根;零的立方根是 ;
2.二次根式
(1) (2)
3
(3)
(4)二次根式的性质
①若a?0,则(a)? ;③ab? (a?0,b?0)
2②a?a??2?a??a(());④ab?ab(a?0,b?0)
(5)二次根式的运算
①加减法:先化为 ,在合并同类二次根式;
②乘法:应用公式a?b?ababab(a?0,b?0);
③除法:应用公式?(a?0,b?0)
④二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
A组
一、选择题(每小题3分,共45分)
1、下列各数中是负数的是( )。
23
A.-(-3) B.-(-3) C.-(-2) D.|-2| 2.下列命题中,假命题是( )。
A.9的算术平方根是3 B.16的平方根是±2
C.27的立方根是±3 D.立方根等于-1的实数是-1 3.一个数的相反数比它的本身小,则这个数是( )。
A. 正数 B. 负数 C.正数和零 D.负数和零
4、下列命题中正确的个数有( )。
①实数不是有理数就是无理数 ② a<a+a ③121的平方根是 ±11 ④在实数范围内,非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无理数 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5、天安门广场的面积约为 44 万平方米,请你估计一下,它的百万之一大约相当于( )。
A.教室地面的面积 B.黑板面的面积 C.课桌面的面积 D.铅笔盒面的面积 6.和数轴上的点一一对应的数是( )。
A.整数 B.有理数 C.无理数 D、实数 7.近似数1.30所表示的准确数A的范围是( )。
A.1.25≤A<1.35 B.1.20<A<1.30 C.1.295≤A<1.305 D.1.300≤A<1.305 8.已知|a|=8,|b|=2,|a-b|=b-a,则a+b的值是( )。
A.10 B.-6 C.-6或-10 D.-10 9.绝对值小于8的所有整数的和是( )。
A.0 B.28 C.-28 D.以上都不是 10.由四舍五入法得到的近似数4.9万精确到( )。
A.万位 B.千位 C.十分位 D.千分位 11.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( )。
A.非负数 B.非正数 C.负数 D.正数 12.若2a与1-a互为相反数,则a等于( )。 11 A.1 B.-1 C. D.
232
13.在实数中,- ,0, 3 ,-3.14, 4 无理数有( )。
5
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 14.不借助计算器,估计76的大小应为( )。
A.7~8之间
C.8.5~9.0之间
2
B.8.0~8.5之间 D.9~10之间
15.若a?4,b?3,且a?b?0,则a?b的值是( )。
A.,7
B.?1,7
C.,?7
D.?1,?7
二、填空题(每小题3分,共45分)
1.3=_________。
-2
2.绝对值小于5.3的负整数有_________个,整数有_________个。
3.5-7的相反数是_________,绝对值是_________。
4.若│x│=3,则x=_________。 5. 10的小数部分是_________。
6.若(x+1)+|y-2|=0,那么x+y = _________。
2
12
7.已知:|x|=4,y= 且x>0,y<0,则x-y=_________。
498.当实数_________0时,
?x?2?x;当实数_________0时,x??x.
29.比较大小:当实数a?0时,1?a_________1?a(填“>”或“<”)。 10.写一个大于2而小于5的无理数_________。
11.数轴上与表示数2的点距离为6个单位长的数_________。 12.我们的数学课本的字数大约是21万字,这个数精确到_________位请用科学记数法表示课本的字数大约是_________。
13.已知一个矩形的长为 3cm,宽为 2cm,试估算它的对角线长为_________(结果保留两个有效数字)。 14. 当x=_________时,4-9?x2的最小值是_________。
15.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,那么代数式
|a+b|
+4m-3cd=_________。 2
2m+1
三、计算题(每小题 4 分,共16 分) 1.14?0.5?238; 2.1?2?2?3?2?3;
3.(?2)?3(?4)?23?1?(?4)??????2?32327; 4.|3-|-|-2|;
四、解答下列各题(第7题8分,其余每小题6分,共44 分) 1.已知x<0,y>0,且y<|x|,用\<\连结x,-x,-|y|,y。