函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ） 2A、f(x)?lgx,g(x)?2lgx B、f(x)?lgx?1,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?11?u1?v2 D、f（x）=x，f(x)?x ,g(v)?1?u1?v2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 C、 f(u)?y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x O y 1 2 x O 1 2 x
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
6.（05江苏卷）函数y?
2求函数定义域的两个难点问题
（1） 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 （2） 已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域
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log0.5(4x2?3x)的定义域为
例2设f(x)?lg2?xx2，则f()?f()的定义域为_________ 2?x2x4?x2，求f(x)的定义域。 变式练习：f(2?x)? 三、函数的值域
1求函数值域的方法
①从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1． y?1 2x?2x?322．f(x)?2?24?2x?x 3．（换元法）y??x?2x?1 5. y?x2?1x?12 6. (分离常数法) ①y?7. (单调性)y?x?8.①y?x3x?1(?2?x?4) ②y?x?12x?13(x?[?1,3]) 2x1，②y?x?1?x?1 (结合分子/分母有理化的数学方法) x?1?x?129．(图象法)y?3?2x?x(?1?x?2) 10．(对号函数)y?2x?8(x?4) x11. (几何意义)y?x?2?x?1
四．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(?x)?f(x)，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x∈A，都有f(?x)??f(x)，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
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3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
1 已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? . ?2x?b2 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。 2?a（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围； 3 已知f(x)在（－1，1）上有定义，且满足x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(x?y), 1?xy证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数； 4 若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_______
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：
2 设y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减函数；若f(x)
与g(x)的单调性相同，则y?f?g?x??在M上是增函数。 1判断函数f(x)??x(x?R)的单调性。 2例 函数f(x)对任意的m,n?R，都有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当x?0时，f(x)?1， ⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f(3)?4，解不等式f(a?a?5)?2 3函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________ 4(高考真题)已知f(x)??（ ） （A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)
23?(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 ?logax,x?11173（D）[,1) 1317六．函数的周期性：
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1．（定义）若f(x?T)?f(x)(T?0)?f(x)是周期函数，T是它的一个周期。 说明：nT也是f(x)的周期
（推广）若f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，b?a是它的一个周期
对照记忆 f(x?a)?f(x?a)说明： f(a?x)?f(a?x)说明： 2．若f(x?a)??f(x)；f(x?a)?11；f(x?a)??；则f(x)周期是2a
f(x)f(x)1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2?x)?f(2?x)，在区间［-2,0］上单调递减，设a?f(?1.5),b?f(2),c?f(5)，则a,b,c的大小顺序为_____________ 3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x?2)?f (2005)= . 1?f(x),若f(1)?2?3,则 1?f(x)4 已知f(x)是(-?，当0?x?1时，f(x)=x，则f(7.5)=________ ??)上的奇函数，f(2?x)??f(x)，例11 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2?x)??f(x)，当x?[0,2]时f(x)?2x?x2 ⑴求证：f(x)是周期函数； ⑵当x?[2,4]时，求f(x)的解析式； ⑶计算： 七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；
（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)； （4）f-1[f(x)]=x;
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（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；
（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上; 1设函数y?f(x)的反函数为y?f?1(x)，且y?f(2x?1)的图像过点(,1)，则y?f?1(x)的图像必过 （A）(,1) （B）(1,) （C）(1,0) （D）(0,1)
121212八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
21．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴x??b，顶点坐标(?b,4ac?b)
2a2a4a2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y?0的x的取值。 一元二次不等式ax2?bx?c?0(?0)的解集(a>0) 二次函数 △情况 一元二次不等式解集 2 Y=ax2+bx+c (a>0) △=b2-4ac ax+bx+c>0 ax2+bx+c<0 (a>0) (a>0) △>0 ?xx?x1或x?x2? ?xx1?x?x2? 图象△=0 ?xx?x0? ? 与解 △<0 R ?
1、已知函数f(x)?4x2?mx?5在区间[?2,??)上是增函数，则f(1)的范围是（ ） （A）f(1)?25 (B) f(1)?25 (C) f(1)?25 (D) f(1)?25 2、方程mx2?2mx?1?0有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______
九．指数式与对数式
1．幂的有关概念
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