石家庄铁道学院毕业论文
阶为4的只有A1,A32?2?阶为5的只有A2,A4,A6,A8,??,5?5?5?5?
可见，在这样一个无限群里，每个元的阶均有限．
3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 这样的例子我们以前也有举过，像例7的非零有理数乘群．在这个群中，除单位元1的阶为1外，-1的阶为2，而其余每个元都是无限阶的．
4 群的阶与其元的阶之间的关系
在由于在无限群中，|G|=?．此时，群的阶与其元的阶之间的关系没什么意义．故本节主要探讨在有限群中，群的阶与其元的阶之间的关系．
4.1 拉格朗日(Lagrange)定理
在有限群中，关于群的阶与其元的阶之间的关系，有著名的拉格朗日定理．
4.1.1 拉格朗日定理
引理1．一个子群H与H的右陪集Ha之间都存在一个一一映射． 证 ?: h?ha．
是H与Ha间的一一映射．因为：
1) H的每一个元h有一个唯一的象ha； 2) Ha的每一个元ha是H的元h的象； 3）假如h1a?h2a，那么h1?h2，证毕．
引理2．假定H是一个有限群G的一个子群．那么H的阶n和它在G里的指 数j都能整除G的阶N，并且N=nj．
证 G的阶N既是有限，H的阶n和指数j也都是有限正整数．G的N个 元被分成j个右陪集，而且由引理1可知，每一个右陪集都有 n个元．所以N=nj．
因为N的指数就是N的陪集的个数，我们显然有商群GN的元的个数等于N的指数．当G是有限群的时候，由引理2可知
G的阶N的阶?GN的阶?[G:N]．
定理5(Lagrange定理)．一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶． 证 a生成一个阶是n的子群，由引理2知，n整除|G|．证毕．
例11．我们还是看例5中的S３和其子群H={(1),(12)}．S３的阶为6，H的阶为2，H的指数是3，2和3果然整除6，并且6=2×3．
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S３ 的
6个元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)．它们的阶是1或2或3．而
整数1、2、3都整除整数6．这当然验证了著名的Lagrange定理．
4.1.2 相关结论
运用拉格朗日定理，我们可得以下几个较好的结论． 结论7．阶为素数的群为循环群．
证 不妨假设|G|=P(P为素数)．任取元素a(a?e)，则由Lagrange定理可知，
a|P.又因为a?1，所以a?P.所以G??a?,为循环群，证毕．
结论8．阶为Pm的群（P为素数）一定包含一个阶为P的子群.． 证 任取一元素a(a?e)，假设|a|=n，则由Lagrange定理可知，
n|P，又由于P为素数，所以n?P(1?j?m)m．
若j=1，则n=P．就是群的一个P阶子群． 若j>1，则
je?a故|aP(j-1)Pj?(aP(j-1))?e．
p|?P,所以?aP(j-1)?就是G的一个P阶子群.证毕．
结论9．阶为6的交换群必为循环群．
证 不妨假设|G|=6，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|6．所以m可取2或3或6．
①若m=6，则G=是循环群．
②若m=2，则为G的一个2阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?3，由结论7可知群G?a?为一个循环群．
故可设G?a???b?，其中|b|?3.由于|b|?1，|b|也不为2（否则，有(b)?e,从而23|2.矛盾).则由Lagrange定理可知，|b|=3或者6．
若|b|=6，则G=为循环群．
若|b|=3，则由于|a|=2，而(2，3)=1，故由结论3可知，|ab|=6，从而G=为循环群．
③若m=3，由于2和3的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论． 总之，G为循环群．
容易验证该结论条件中的交换群是必要的．因为例5中的三次对称群的阶为6，但其不是交换群，并且它不是循环群，因为其中没有阶为6的元素．
有了这个结论，我们很容易得下面的推论．
推论：pq阶交换群必为循环群，其中p, q为互异素数．
证 因为|G|=pq，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|pq．所以m可取p或q或pq．
①若m=pq，则G=是循环群．
②若m=p，则为G的一个p阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?q，由结论7可知群G?a?为一个循环群．
故可设G?a???b?，其中|b|?q.由于|b|?1，|b|也不为p（否则，有(b)?e,从而p
．则由Lagrange定理可知，|b|=pq或者q． q|p.矛盾）若|b|=pq，则G=为循环群．
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若|b|=q，则由于|a|=p，而(p，q)=1，故由结论3可知，|ab|=pq，从而G=为循环群．
③若m=q，由于p和q的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论．有兴趣的读者可再推导一次，增强自己的推理能力．
总之，G为循环群．
结论10．在循环群中，除去单位元外，其余元素的阶都相同且有限当且仅当该循环群的阶为素数．
证 ?设|G|?P(P 为素数,为G循环群，不)妨设G??a则?,|a?|．P则由结论2可知， |a|??iP(P,i)?P (i?1,2,?P-1).故得证.
i)设G为循环群，且G的阶为合数，即|G|?M?N(M,N均为大于1的正M数）.又不妨设G??a?,则|a|?M?N,由结论2可知，|a |?N.这就与题设矛盾.ii)设G为循环群，且G的阶为?，则由结论5知,G同构于整数加群.而在整数加群中,除去单位元1的阶为1外,其余元素的阶均为无限.由同构可知,G也由此性质,故与题设矛盾.
4.2 有限交换群的结构定理
本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理．由此，我们将具体地理解到什么是群的结构理论．在本节中G表示交换群，群的运算记作加法“+”，简称加群．
4.2.1 有限交换群的结构定理
前面我们有了内直和与外直积的定义，下面来简要介绍有限交换群的结构定理．由于篇幅问题，我们不作证明，供读者欣赏，有兴趣的读者可见参考文献[4]．
定理6．（有限交换群的结构定理）：有限交换群G可唯一分解为素数幂循环群的直和，若|G|?p1mp2m?ptm，pi是不同素数，则
12t 1)G?G11???G1s1???Gt1???Gtst，其中Gij是阶为piij的循环群；2)自然数集 (p111，?p1mm1s1m，?，ptt1，?ptmmtst)由群G唯一确定.
这是一个很值得玩味的结构定理．读者可以把它和算术基本定理相比．那里表示
任意整数的基本构件是“素数”，构造方法是“乘积”，而这里则是：表示有限加群的基本构件是“素数幂阶的循环群”，构造方法是“直和”．在整数论中，自然数n的分解是
mmmn?p1p2?pt，
则在交换群论中，有限加群G的阶n的分解将是
12t．
如果把n的因数和G的子群相类比，我们可以容易地证明下面的推论．有兴趣的读者可以证明一下．
推论：G是有限加群，|G|=n，而m|n，则G中必有阶为m的子群．
n?p1?p11m11m1s?ptmt1?ptmtst13
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4.2.2 相关例子
m我们称每个pi为群G的初等因子，而其全体{p1m，?p1，?，pt，?pt的初等因子组．
例12．在同构的意义下, 给出所有8阶交换群．
3解 用Cn表示n阶循环群.由于8?2,故 8阶交换群3个，即
32{2},{2,2},{2,2,2}
从而相应地，在同构意义下8阶交换群共有3个，即
C8,C2?C4,C2?C2?C2
另外，对于8阶群，我们这儿举一个非交换群的例子． 设Ａ是由以下8个矩阵所组成的集合．
111t1mijm1smtst}为群
?1???0?i???00??,1?0??,?i??0???1?0???i?1??,0?i?2?.(其中i??1)0?
规定Ａ里面的乘法为普通乘法，则Ａ对于该乘法显然满足G1—G4，做成一个群．但它是一个非交换群．因为
?0??ii??0???0??1?1??i???0??00??i????i??00??0????i??1?1??0???0???i?i??． 0?例13．在同构的意义下，利用不变因子给出所有72阶交换群．
32解因为72=2?3，故72阶交换群的初等因子共有6种，即
{2,2,2,3,3},{2,2,2,3},2{2,2,3,3},{2,2,3},222{2,3,3},{2,3}.323
于是相应的不变因子组也有6种，即
{2,6,6},{2,2,18},{6,12},{2,36},{3,24},{72},
从而相应地，得互不同构的所有72阶交换群共有6个，即
C2?C6?C6,C2?C2?C18,C6?C12,C2?C36,C3?C24,C72.．
小结：本论文先介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中元的阶的概念、群的阶与其元的阶之间的关系，并举了一些典型实例来说明它们之间的关系．最后，介绍了著名的有限交换群的结构定理，以及它的典型实例．
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参 考 文 献
[1] 刘木兰、冯克勤编，群论，北京：国防工业出版社，1992，前言． [2] 邓应生译，群论基础，北京：高等教育出版社，1994，绪论． [3] 张禾瑞著，近世代数基础，北京： 高等教育出版社，1978． [4] 刘绍学编，近世代数基础，北京：高等教育出版社，1999． [5] 熊全淹编，近世代数，武汉：武汉大学出版社，1984．
[6] 聂灵沼，丁石孙编，代数学引论，北京：高等教育出版社，1988．
[7] Shafarevich I R Basic Notions of AlGebra, Encyclopedia of Mathematical Sciences. Berlin:SprinGer-VerlaG， 1990．
[8] 万哲先编，代数和编码（修订版），北京：科学出版社，1980． [9] Artin M .AlGebra.EnGlewood Cliffs:Prentice-Hall，1991
[10] Nikulin V，Shafarevich I R. Geometries and Groups. BeijinG: SprinGer-VerlaG，World
PublishinG Corporation，1989．
[11] 潘承洞，潘承彪编，初等代数数论，山东：山东大学出版社，1991．
[12] 杨子胥，宋宝和编著，近世代数习题解，济南：山东科学技术出版社，2004． [13] 杨子胥，近世代数，高等教育出版社，2000． [14] 吴品三，近世代数，高等教育出版社，1979． [15] J．S．Rose，Ａ course on Group theory，1978．
[16] 杨子胥，关于循环环及其幂等元，数学的实践与认识，1985，3．
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