石家庄铁道学院毕业论文
１ 绪 论
本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系，并找出各种情况进行实例分析．
1.1 群论的概括
群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位．群论的概念和结果远不限于对几何学、拓扑学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工具．随着科学技术的发展，群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用，除了大家比较熟悉的对物理学、特别是理论物理学和结晶学的应用，它还渗透到计算机科学、通讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域．因此，今天需要掌握和了解群论知识的人越来越多．
1.2 群论的来源
为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字“4”就根本不对称？为了回答这个问题，我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动．容易了解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动，它使图形的每个点留在原位不动．使某个图形自身重合的各种运动的集G，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称．在集G上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果x，y是G的两个运动，那么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动x，后作运动y的连接实施的运动x?y．例如，如果x，y是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么x?y就相当于绕中心转180°的旋转．显然，在G上的合成具有下列性质：
1)对G中的任意元素x,y,z,(x?y)?z?x?(y?z)；
2)在G中存在这样的e，使得x?e?e?x?x，对G中的任意的x都成立；
3)对G中的任意x，在G中存在这样的元素x，使x?x-1-1?x?x?e-1；
实际上，e可取恒等运动，而x?1可取x的逆运动，即图形的每一点从新位置还原到旧位置．
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1.3 群论的思想
在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前，需要几代数学家的辛勤劳动，总计花费了近一百个春秋．从拉格朗日(Lagrange)自发地采用置换群以解决用根式解代数方程问题起(1771)，中间经过罗菲(Ruffin，1799)与阿贝尔(Abel，1824)，直到伽罗瓦(Galois，1830)在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想(就是他首先引进群这个术语的)，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程．与此独立，由于其他原因，当19世纪中叶，在统一的古希腊几何舞台上出现了多种“几何”，尖锐地提出了研究它们之间的联系与“血缘”关系问题时在几何中出现了群．
现在群论是代数学发展最充分的分支之一，无论在数学本身还是数学以外——在拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中，都有许多应用．
2 预备知识
2.1 群和子群
2.1.1 群的定义
我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义．
设?是非空集合G的一个代数运算(我们常称作乘法)．称(G，?)为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：
G1)对?a?G，b?G，有a?b?G；
G2)对?a，b，c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)； G3)存在e?G，使对?a?G，有e?a?a?e?a；
G4)对?a?G，存在一元素b?G，使a?b?b?a?e；
如果群G还满足：
G5)对?a，b?G，有a?b?b?a；
则称(G，?)为交换群，或者Abel群．
另若一个群G的每一个元都是某一个元a的乘方，这时我们把G叫做循环群．我们也说，G是由元a生成的，并用符号G=表示，其中a叫做G的一个生成元．
例1．（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理G1—G5，做成一个Abel群．并且不难验证，它还是一个由整数1生成的循环群．即该群可用符号<1>来表示．
例2．设G={(a，b)|a，b为实数，且a不为0}．规定
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(a，b)?(c，d)?(ac，ad?b)
则G显然满足G1—G4，做成一个群．
事实上，显然G非空．又在G中任取(a，b)，(c，d)．则a，b，c，d是实数且a，c均不为零．于是ac，ad+b也均为实数且ac也不为零．从而
(a，b)?(c，d)?(ac，ad?b)?G
再任取(e,f)?G,则有[(a,b)?(c,d)]?(e,f)?(ac,ad?b)?(e,f)?(ace,acf?ad?b)(a,b)?[(c,d)?(e,f)]?(a,b)?(ce,cf?d)?(ace,acf?ad?b)故[(a,b)?(c,d)]?(e,f)?(a,b)?[(c,d)?(e,f)],即G对?满足结合律.又(1,0)?G,且(1,0)?(a,b)?(a,b)?(a,b)?(1,0).即(1,0)是G的单位元.又对G中任意(a,b)?G,(a,b)?(即(1a1a,?baba)?(1a,?有(ba1a,?ba)?G,且)?(a,b)?(1,0).,?)是(a,b)在G中的逆元.作成一个群,但它不作成一个Abel群.因为:所以G满足G1—G4,(3,6)?(1,2)?(3,4)?(3,4)?(1,2)?(3,10) 例3．（有理数集上行列式为1的2阶方阵的全体，矩阵的乘法）显然满足G1—G4，但它不满足G5．因为：
?0??0.5但是?0.8???0.6所以?0??0.5?2??0.8??0???0.60.6??0.8???0.8???0.60.6??0??0.8??0.5?2??,0?0.6??0??0.8??0.5?2??0.3???0??0.4?1.6??1.2??2??0.8??0???0.60.6??1.2???0.8??0.4?1.6??0.3?
交换律不成立.所以它也只是一个普通的群．
2.1.2 群的阶的定义
如果群G只有有限个元素，我们称它为有限群．其元素的个数称为群G的阶，记为|G|，否则称它为无限群，记|G|=?．
从前面我们举的例子（例1至例3）都是无限群．下面我们举两个有代表性的有限群的例子．
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例4．模n的剩余类加群Zn．
G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的叫做加法的代数运算．我们用[a]来表示a这个整数所在的剩余类．我们规定：
[a]+[b]=[a+b] (1)
我们先看一看，这样规定的+是不是一种代数运算．我们知道，
假如a’?[a]，b’? [b]．那么[a’]=[a]，[b’]=[b] 照我们的规定，
[a’]+[b’]=[a’+b’] (2)
(1)，(2)两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：[a+b] ?[a’+b’] 那么我们规定的+就不是代数运算了．我们说这种情况不会发生．因为 [a’]=[a]，[b’]=[b] 就是说a’?a(n)，b’?b(n)．
也就是说n|(a’-a)，n|(b’-b)．因此，能n|[(a’-a)+(b’-b)]，即n|[(a’+b’)-(a+b)]．
所以[a’+b’]=[a+b]，这样规定的+是G的一个代数运算．而且 [a]+([b]+[c])=[a]+[b+c]=[a+(b+c)]=[a+b+c]． ([a]+[b])+[c]=[a+b]+[c]=[(a+b)+c]=[a+b+c]． 这既是说 [a]+([b]+[c])= ([a]+[b])+[c]．
并且 [0]+[a]=[0+a]=[a]．
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]．
所以对于这个加法来说，G做成一个群，这个群叫做模n的剩余类加群．记为
Zn．仔细研究这个群，它还是一个循环群，即Zn=<[1]>．
例5．三次对称群S3
一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．一个包含n个元素的集合的全体置换做成的群叫做n次对称群．这个群我们用S3来表示．
容易知道n次对称群Sn的阶为n!，即|Sn|=n!，当n=3时，就是三次对称群S3，下面我们将S3的元素一一列出．
S3={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}
依照群的定义，容易验证S3满足G1—G4，做成一个群．但它不是一个Abel群．因为
(12)?(13)?(13)?(12),事实上，(12)?(13)?(123),(13)?(12)?(132).
并且可以说S3是一个最小的有限非交换群(略去证明 )．有兴趣的可见参考文献[3]．
2.1.3 元的阶的定义
我们下面来看群G的一个元素a，能够使得am?e的最小整数m叫做元a的阶，记为|a|=m．如果这样的m不存在，我们说a是无限阶的，记为|a|??．
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下面举两个关于阶的例子，希望读者对它有一个较好的理解： 例6．设G刚好包含x3?1的三个根：1，???1?2?3，???1?2?3．
G对于普通乘法来说显然满足G1—G4，做成一个群．在这个群里面，1的阶为1，?的阶为3，
的阶也为3．
例7．（非零有理数集，数的普通乘法）显然满足G1—G5，做成一个Abel群． 在这个群里面除了1，-1外，其它元素皆为无限阶的．
另外，有关元的阶，我们还有以下几个比较好的结论．
结论1．在群G中，若元a的阶为m，且an?e(e为单位元)，则m|n． 证 我们采用反证法．设m不整除n，由代数的基本知识可知，
?q，r使n?mq?r(其中0?r?m)．又因为e?an?amq?ar?(am)q?ar?ar．
这与元a的阶为m矛盾，所以m整除n，即m|n．
结论2．设G为群，a?G，且|a|=n，则对任意的整数k，有|ak|?n(k，n)．
证 设（k，n）=d，不妨设k=dk1，n=dn1，且(k1，n1)?1．又因为an?e， 所
knnkknkm（a）?a?a?e．（a）?e，以有设所以akm?e，由结论1可知，n|km，即dn1|dk1m，
111所以n1|k1m．又因为(k1，n1)?1．所以n1|m．所以|ak|?n1?nd?n(k，n)．
．
b|mn?结论3．在群G中，元素a的阶为n，b的阶为m．若ab=ba，且(m，n)=1．则a证 首先由于|a|=n，|b|=m，故an?bm?e．又由于ab=ba，故
(ab)?mn(an)m b(?)．emnnk其次，设有正整数 k，使(ab)k?e．则因ab=ba，故(ab)(?a)bnknknkb?.e?而|b|=m，
所以m|kn．又因为(m，n)=1，故m|k．同理可证n|k．由(m，n)=1得mn|k．所以|ab|?mn．
结论4．在交换群G中，对任意的两个元素a，b都有|ab|?|a|?|b|．
证 设|a|=m，|b|=n．则am?bn?e．由于G是Abel群，故
(ab)?mnamnb?(mna)m． (b?)nnme从而|ab|?mn.即|ab|?|a|?|b|．
2.1.4 子群、子群的陪集
假设H是群G的一个非空子集．如果对G中的代数运算H本身做成一个群．则称H为群G的一个子群．
我们称G的子集aH＝{ah|h?H}与Ha＝{ha|h?H}分别为子群H的左陪集、右陪集．
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