广义积分证由
???1f(x)dx同时收敛，同时发散．
f(x)单调减少，故对x?[k?1,k]，
kuk?1?f(k?1)?f(x)?f(k)?uk，
kk?1uk?1??uk?1dx??k?1f(x)dx??kkk?1f(k)dx??ukdx?uk
k?1nnk所以
?uk?1nk?1???k?2nk?1f(x)dx??f(x)dx??uk1k?2 （3）
若广义积分
???1，有 f(x)dx收敛，则对任何自然数n,由上不等式（3）
nnn?? Sn??uk?u1??uk?u1??f(x)dx?u1??k?1k?211f(x)dx
既部分数列?Sn?有界，故级数
??un?1?n收敛．
反之，若级数
?un?1n收敛，则由不等式（3），则对任何自然数n(n?1),有
n?1?
?n1f(x)dx?Sn?1??uk??uk?S （4）
k?1k?1又知f(t)?0,则F(x)?调有界准则知广义积分
??xaf(t)dt是x的单增函数，由（4）可知F(x)有上界S，根据单
???1f(x)dx收敛．定理证毕．
的敛散性，其中p?0为常数．
例12讨论级数
1?pn?1n(lnn)解 取
f(x)?1,p?0px(lnx)．它在[3,??)上非负，单调减少且连续．令
un?f(n)?1. pn(lnn)当p?1时，limx??3?x1dt?lim[lnlnx?lnln3]???,
x??tlnt当p?1时，lim
x??3?x111?p1?pdt?lim[(lnx)?(ln3)] px??t(lnt)1?p11
???,当0?p?1,? ??(ln3)1?p?p?1,当p?1.?故级数
1?pn(lnn)n?1??当p?1收敛，当0?p?1时发散．
注 对于正项级数
??1dx,,同 考察广义积分?p?p1xlnx(lnlnx)n?1n(lnn)(lnlnn)样可推得当p?1收敛，当0?p?1时发散．
§4 拉贝尔判别法与高斯判别法
柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了．拉贝（Raabe）以p?级数
1作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯?pn?1n?1(Gauss)以级数?pn?1n(lnn)定理11 （拉贝判别法）设
?作为比较对象，得到了高斯判别法．
??un?1n为正项级数，若有
un?1??1??1??o??(n??), （5） unn?n?则在??1时，级数
?un?1?n收敛；而在??1时，级数
?un?1?n发散．
证略．
注 等式（5）式其实相当于
?un?1?limn??1???? （6） n??un??推论（拉贝判别法的极限形式）设
??un?1?n为正项级数，且极限（6）存在，
?则：（i）当??1时，级数时，拉贝判别法失效．
?un?1n收敛；（ii）当??1时，级数
?un?1n发散；（iii）当??1 12
例 13 讨论级数
?1?3(2n?1)???(2n)?n?1?2?4??ss当s?1,2,3时的敛散性．
解 对于任何s,都有
u?2n?1?limn?1?lim???1． n??un??2n?2??n因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性．下面用拉贝判别法来讨论： 当s?1时，由于
?u?2n?1?n1?n?1?n?1??n?1????1(n??) ?un?2?2n?2?2n?2?故当s?1时级数发散；
当s?2时，由于
??2n?1?2?n(4n?3)?un?1?n?1??1(n??) ??n?1?????2un???2n?2???(2n?2)??此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性；
当s?3时，由于
??2n?1?3?n(12n2?18n?7)?un?1?3n?1??n1????1(n??)?????3un?(2n?2)2????2n?2???此，当s?3时级数收敛．
还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法： 定理12（高斯判别法）设
因
?un?1?n为正项级数，若有
un?11??1??1???o??(n??), （7） unnnlnn?nlnn?则在??1时级数
?un?1?n收敛；而在??1时级数
?un?1?n发散．
注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的．一般说来，部分和Sn不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生．以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理．它须用预知其敛散性的级数作比较对象．若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法．这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了．若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数．拉贝选取了p?级数，从而得到了以他命名的判别法．拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的?可能为1，此法仍可能失效．于是又得寻求比p?级数收敛得慢的级数，级数
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?n?(lnn)n?1?1p就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别
?11法的用途更广．沿此思路下去又会发现级数?较收敛散得?ppn?lnn?(lnlnn)n?(lnn)n?1n?1?更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法．如果某级数，用上述的
判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy）收敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了． §5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法 阿贝尔变换 为了求和数S和数
??aibi?a1b1?a2b2?...?ambm，阿贝尔给出了一个初等变换，引进
i?1mB1?b1,B2?b1?b2,B3?b1?b2?b3,,Bm?b1?b2??bm
b1?B1,b2?B2?B1,b3?B3?B2,m,bm?Bm?Bm?1.?am(Bm?Bm?1)
S??aibi?a1B1?a2(B2?B1)?a3(B3?B2)?i?1?(a1?a2)B1?(a2?a3)B2???(ai?ai?1)Bi?amBmi?1m?1?(am?1?am)Bm?1?amBm
即
?abi?1mii?amBm??(ai?ai?1)Bi
i?1m?1?amBm??(ai?1?ai)Bi （8）
i?1m?1公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似：
?baf(x)g(x)dx?f(x)G(x)|a??G(x)df(x)
babab?f(b)G(b)??G(x)df(x) （9）
其中，G(x)b??g(t)dt,G(a)?0．如果把Bi换成G(x)，ai?1?ai换成df(x)，
ax?换成?a，则(8)式就转化为(9)式．
阿贝尔引理 如果 （i）{ai}(i
?1,2,,m)单调（增或减）的；
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（ii）{Bi}(i则
?1,2,,m)有界，即存在M?0,使Bi?M;
S??abi?1mii?M(a1?2am) （10）
证 利用阿贝尔变换： S??aibi?amBm??(ai?1?ai)Bi
i?1i?1mm?1S??abi?1mii?amBm??ai?1?aiBii?1m?1
由于ai?1?ai是同号（an单调），Bi?Mm?1，于是有
S?Mam?M?ai?1?ai?M(a1?2am)．
i?1推论 如果ai?0,(i?1,2,,m)，并且a1?a2?a3??am．那么
S?Ma1
（11）
下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克
雷判别法．用它们判别形如
?abi?1?ii?a1b1?a2b2?...?anbn?...
级数的敛散性十分有效．
定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i）
?bn?1?n收敛，（ii）数列{an}单调有界，即存在正数
K，使得|an|?K(n?1,2,3,...)．则级数
证 利用阿贝尔引理来估计和数
?ab收敛．
nnn?1??ab??akkk?n?1i?1n?mmn?in?ib （12）
由条件（i）
?bn?1?n收敛，即对任给??0，存在N，当n?N时,对任何自然数P，有
bn?1?bn?2?...?bn?p??
取?为阿贝尔引理中的M, 再由条件（ii），则有
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