第六讲 数项级数的敛散性判别法
§1 柯西判别法及其推广
比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设
?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使
?un?cvn(n?1,2,3,...)
n
（i） 若
?vn?1收敛，则
?un?1?n也收敛；（ii） 若
??un?1?n发散，则
?vn?1?n也发散．
比较原理II（极限形式）设
?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若
limun?l?(0,??)
n??vn
则
?u、?vnn?1n?1??n同敛散．
根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设
?un?1?n为正项级数，
（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），
则
?un?1?n收敛；
?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．
n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数
?qn?1?n收敛，
根据比较原理I知级数
?un?1?n也收敛．
?（ii）若从某项起，nun?1，imun?0则un?1，故ln??，由级数收敛的必要条件知
?un?1n 1
发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设
?un?1?n为正项级数，limnn???则：（i）当r?1时，?unun?r，
n?1?收敛；（ii） 当r?1（或r???）时，?un发散；（iii）当r?1时，法则失效．
n?1
例1 判别下列正项级数的敛散性
123(1)?()2?()3?357?nn?()?2n?1；(2)?nen=1?n?n
(3)?n?xn（?为任何实数，x?0）．
n=11解 (1) 因为r?limun??1n??2n，所以原级数收敛．
(2) 因为rn?limnun?lim??n??n??en??，所以原级数发散．
(3) 对任意?，r?limnun?x．当0?x?1时收敛；当x?1时发散；当x?1时，
?1，即???1时收敛；当???1此时级数是p?级数，要对p???进行讨论，当??时，即???1时发散．
?1nn例2 判别级数?n[2?(?1)]的敛散性．
n?13解 由于
n12?(?1)nn limun?limnn[2?(?1)]?limn??n??3n??3n不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为
n12?(?1)2?1nnnu?n[2?(?1)]???q?1 n3n33由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列?an?单调减少，且是否收敛？并说明理由．
?1?n(?1)a发散，试问级数?n???a?1n?1n?1?n???n 2
解 答案：级数
?1????a?1n?1?n??n收敛，证明如下：
由于?an?单调减少且an?0,根据单调有界准则知极限liman存在．设liman?a,则
n??n??a?0．如果a?0,则由莱布尼兹判别法知
n(?1)a(?1)an发散矛盾，收敛，这与??nnn?1n?1??故a?0．再由?an?单调减少，故an?a?0,取q? 0?nun?1?1， a?111??q?1 an?1a?1n根据柯西判别法1知
?1????n?1?an?1??收敛．
下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设
?un?1?n为正项级数，如果它的通项un的
an?ban?b?a?0?次根的极限等于r，即limn??un?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，
级数发散；当r?1级数可能收敛也可能发散．
证 因为liman?bun?r，即对任给正数?，存在正整数N1，当n?N1时，有
n??
?r????an?bun??r??? （1）
对于任给常数b，总存在N2，当有n?N2时有
an?b?0 （2）
取N?max?N1,N2?，当n?N时，式（1）和式（2）同时成立．
当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上述讨论，存在N，当n?N时，式（1）
an?b和式（2）同时成立，那么有un?q，正项级数
?qn?1??an?b?qb?(qn?1?an)收敛（因为其为等
比级数且公比0?q?1），由比较审敛法知，级数
n?un?1n收敛．
当r?1时，取?足够小，使r???q?1，由上面的讨论，存在N，当n?N时，式（1）
an?b和式（2）同时成立，则un?q
，正项级数
?qn?1?an?b?qb?(qn?1?an)发散，由比较审敛法知，
3
级数
?un?1?n发散．
当r?1时，取un??11an?bu?limlim?1．a?0,b，那么，对任何为常数，有而npp/(an?b)n??n??nn?11发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． ??2nnn?1n?1?1?例4 判别级数???n?1?3n?1?解 因为lim2n?1un?limn???2n?1的收敛性．
1?0?1,由广义柯西判别法1知，级数
n??3n?1?1????n?1?3n?1??2n?1收敛．
注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设
?un?1?n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于
m1的正整数）次根的极限等于r，即limnun?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，
n??级数发散；当r?1时，级数可能收敛也可能发散．
证 因为limnun?r，即对任给的正数?，存在正整数N，当n?N时有
mn??r???nun?r??m
当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时， 有un?q．因为q?nmnm又正项级数?q收敛（因q?(0,1)），由比较审敛法知?qn?q，
nnn?1n?1??m收敛 ，所以
?un?1n收敛．
当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时，有
un?qnm?1，那么limun?0，所以级数?un发散．
n???n?1当r?1时，同样取un?P1?p?0?，那么 npPlimnmn??11??1???lim?lim??n??1/nm??1 nmnpn???n??n??4
这说明r?1时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．
注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取a?1,b?0，在广义柯西判别法2中，取m?1便得定理2（柯西判别法2）．
?例5 判断级数
????2n?1?n?12?n?n2的收敛性．
n2解 因为limnun?limn?n??n??收敛．
2?n???2n?1??limn1??1，由广义柯西判别法2知原级数
n??2n?12定理5（广义柯西判别法3） 设wn?unvn,un?0,vn?0,(n?1,2,n)，若
??vnlimun?u，lim?v．则当uv?1时，级数?wn收敛；当uv?1时，级数?wn发n??n??vn?1n?1n?1散[2]．
为证明定理5，需要一些预备知识：
Stolz定理 设?an?、?bn?为两个数列，数列?bn?在某顶之后单调递增,且
limbn???，若limn??an?an?1a（或??），则limn?l（或??）． ?l，
n??b?bn??bnn?1nn??命题1 设数列?xn?．若limxn?l，则lim证 令an?x1?x2?x1?x2?n??n?xn?l?limxn。
n???xn，bn?n，由Stolz定理，
xn?limxn?l
n??n?(n?1)n??limx1?x2?n??n?xn?lim命题证毕．
命题2设an?0，(n?1,2,)．liman?a，则limna1a2n??n??an?a?liman．
n??n??证 由an?0，考虑数列?lnan?，由对数函数的连续性易知limlnan?lna．再 由命题1知
limna1a2n??an?limlna1?lna2?n??nlnna1a2an?lnan?lna
根据指数函数的连续性便得
limna1a2n??an?limen???elna?a,
a?0或a???时，结论仍成立，这里证明略去．
命题3 设vn?0，lim
vnv?v，则limnvn?v?limn．
n??vn??n??vn?1n?15
