由an?2bn?1可知,若liman存在,则limbn存在,于是可得0?|t|?1,
n??n??2 所以?2?t?2且t?0. liman?2limbn?2.
n??n??2?t
解法三：由题设知tbn?1?2bn?1，即 bn?1?tbn?1，
22①
于是有
bn?2?tbn?1?1,
22②
②－①得bn?2?bn?1?t(bn?1?bn),令cn?bn?1?bn，得
2 cn?1?tcn. 222
由f(b)?g(b),t?2,t?0可知c1?b2?b1?(t?2)b?1?0,t?0, 所以{cn}是首项为b2?b,公比为t的等比数列，于是
2t1?()n2(b?b)?b,bn?1?(c1?c2???cn)?b1?21t 1?2t4[1?()n]2(b?b)?2b.an?2bn?1?212?t 又liman存在,可得0?|t|?1,所以?2?t?2且t?0.
n??2 liman?4(b2?b1)?2b?2.
n??2?t2?t
说明：数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.
（Ⅱ）证明：因为g(x)?f?(x),所以an?g(bn?1)?f?1(bn?1),即bn?1?f(an). 下面用数学归纳法证明an?1?an(n?N*). （1）当n?1时,由f(x)为增函数,且f(1)?1，得 b?f(a)?f(1)?1,
21a2?f(b2)?f(1)?a1,a1?f(b1)?f(1)?1, 即a2?a1，结论成立.
（2）假设n = k时结论成立，即ak?1?ak.由f(x)为增函数，得 f(ak?1)?f(ak),即bk?2?bk?1， 进而得
f(bk?2)?f(bk?1),即ak?2?ak?1. 这就是说当n = k +1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的n?N*,an?1?an.
例20.(2006年广东卷）已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a2n}各项的和为81.
5(Ⅰ)求数列{an}的首项a1和公比q；
(Ⅱ)对给定的k(k?1,2,3,???,n),设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列.求数列T(k)的前10项之和；
(Ⅲ)设bi为数列T(i)的第i项，Sn?b1?b2?????bn，求Sn，并求正整数m(m?1)，使得limSnn??m存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当n??时该无穷数列前n项和的极限)
[考查目的]本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.
?a1?9?a1?3,1?q[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,? ????2?2?a1?81??q?3.2?5?1?q2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an?3?????3?d?2a2?1?3,S10?10?2?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差
(2)1?10?9?3?155,即数列T的前10项之和为155. 2i?12?(Ⅲ) bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1?????3??2?n?n?1?，limSn=limSn?45??18n?27????n??n??nm2?3?n??i?1?，
?4518n?27?2?nn?n?1??
?.?????mm?nm?n32n????当m=2时，limSn=－1，当m>2时，limSn=0，所以m=2.
n??nm2n??nm
【专题训练与高考预测】 一.选择题
1.下列极限正确的个数是
nn①lim1=0（α＞0）;②limqn=0;③lim2?3=－1 ; ④limC=C（C为常数）
n??n?n??n??2n?3nn??A.2 B.3会 C.4 D.都不正确
2.下列四个命题中正确的是
A.若liman2＝A2，则liman＝A B.若an＞0，liman＝A，则A＞0
n??n??n??C.若liman＝A，则liman2＝A2 D.若lim（an－b）＝0，则liman＝limbn
n??n??n??n??n??3.lim?f（x）=lim?f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( )
x?x0x?x0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2xx?1,下列结论正确的是( ) 4.f（x）=???0x?1,A.limf(x)=limf（x） B.limf(x)=2，limf(x)不存在 ???x?1?
x?1x?1x?1C.limf （x）=0, limf(x)不存在 D.limf （x）≠limf （x）
x?1?x?1?x?1?
x?1?5.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( )
yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x③④
A.① B.②③ C.①④ D.③④ 6.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上( )
A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确 7.已知Limann??2?cnbn2?c?5,Limn??bn?c1，如果?cn?a3bc≠0，那么Limann??2cn2?an?b?bn?c=( )
A、 15 B、
1 C、3515 D、5
3,r?R}
8.若r为实常数，则集合{x|x?Limn??|r|n1?|r|nA、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素 9.若limf(x?1)?1,则limx?1?（C）
x?1f(2?2x) x?1x?1
A．－1 B．1 C．－1 D．1
222x?3,x?1，下面结论正确的是（ ） 10. 已知f?x?????2,x?1A.f?x?在x?1处连续 B.f?x??5 C.limf?x??2 D.limf?x??5
x?1?x?1?二.填空题
11.四个函数:①f（x）=1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0
x处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:
①f（x）=1在［0,1］上连续;
x②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值; ③lim2sin2x=4;
x?π2cosx?x④若f（x）=????x?1(x?0),则limf（x）=0.
x?0(x?0).其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.
14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f’(x)>0，f(0)>0，则Lim2[f(3)]n??nn?3[f(??)]nn=_________.
4[f(3)]?5[f(??)]15. limn?2=__________.
n??1?2???nn??216. limn?2n=____________.
2n2?3三.解答题
17.求下列函数极限:
4①limx?1; ②lim1?x?3; ③limx?a?x?a(a?0). x?1x??83x?2x?ax?1x2?a2?18. .数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当lim（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.
n??
【参考答案】
一. B 1.提示:①③④正确.
2. C 提示:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝1，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．
n3. C 4. D 5. A
6. C 提示：有定义不一定连续. 7. D 8. C 9.C 提示：
limx?1x?111
?lim??.f(2?2x)x?1?2limf(x?1)2x?1x?110.D 提示: limf?x??f(1)?2?1?3?5.
x?1?故选D.
二. 11.②③④; 12.③; 13. a=22b=4 ; 14. ?3 ;
512?215. 提示：原式=limn?2=limnn=0.
n??n(n?1)n??1n?22216. 提示：:原式=limn??2n=32?2n1?1. 24三.17. 解:①limx?1?limx?1x?111x?1?lim4?. x?1x?1(4x?1)(4x?1)x?124323 ②lim1?x?3?lim(1?x?3)(1?x?3)(x?2x?4) 332x??8x?2x??8(3x?2)(x?23x?4)(1?x?3)323 ?lim?(x?8)(x?2x?x??84 )(x?8)(?1x?3)?x2?23x?4??limx??81?x?33??2.
③ limx?a?x?a?lim(x?a?x?a)
x?ax?ax2?a2x2?a2x2?a2? ?lim(x?a)(x?a)x?a?limx?a?x?ax?ax?a(x?a)x?a?1 x?a ?limx?a?x?a12a
?.?2ax?a(x?a)2a (3)当x??时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当a0?0,b0?0,m和n为非负整数时,有
?a0?b,0mm?1? lima0x?a1x???am???0,x??bxn?bxn?1???b01n?????,n?m,n?m, n?m.18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an2an+1=cn恒成立. ∴an?1?an?2=an?2=can?an?1n?1nanc=c.又a12a2=a2=c.
∴a1,a3,a5,?,a2n－1,?是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,?,a2n,?是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴bn?2=an?2?an?3=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
bnan?an?1∴b1,b3,b5,?,b2n－1,?是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,?,b2n,?是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴lim （b1+b2+b3+?+bn）= lim（b1+b3+b5+?）+ lim（b2+b4+?）
n??n??n??=1?c+2c≤3.
1?c1?c
