专题九 极限与探索性问题的解题技巧
【命题趋向】
综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点： 1．数学归纳法
①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．
②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目
③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意． 2. 数列的极限
①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．
②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. ③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型． 3．函数的极限
①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限． ②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算． ③利用两个重要极限求函数的极限．
④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点. 4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间． 5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，
因而极限题是高考中的得分点． 6.注意掌握以下思想方法
①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；
②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.
此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高． 【考点透视】
1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．
3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项.
2.几个常用的极限：①limC=C（C为常数）;②lim1=0;③limqn=0（|q|＜1）.
n??n??nn??3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当liman=a, limbn=b时，lim （an±bn）=a±b;
n??n??n??例1. ( 2006年湖南卷）数列{an}满足:a1?1,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则
3lim(a1?a2???an)? ( )
n??A.1 B.2 C.3 D.2
232[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn?0(q?1) 的应用.
n??[解答过程]由a1?1和am?n?am?an得a2?1,a3?1,?an?1n.
3927311(1?n)3?1.?lim(a1?a2?????an)?lim3x??x??12 1?3故选A.
例2．（2006年安徽卷）设常数a?0，?ax2?1?展开式中x3的系数为3，则
??2x??nlima(?a2?????a?)_____. n??4[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.
r4?r8?2r[解答过程] Tr?1?C4axx1?r22，由x8?rx2?x,3得?r2,由C4ra4?r=3知a=1，所以
1?r2211. 2lima(?a?????na?)2?，所以为1n??11?2例3. （2007年福建卷理）把1?(1?x)?(1?x)2???(1?x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim2an?1等于( )
n→?
an?1
（ ） A．1
4B．1
2C．1 D．2
[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn?0(q?1) 的应用.
n??[解答过程] 当x?1时,an?1?(1?x)?(1?x)2???(1?x)n?1?2?22???2n?1?2?2n?1,
1?22an?12(2n?1)?12n?1?11∴lim?limn?lim?lim(2?n)?2. nn→?a?1n→?(2?1)?1n→?n→?22nn故选D
例4. (2007年天津卷理)设等差数列?an?的公差d是2，前
2an?n2 ． lim?n??Snn项的和为Sn，则
思路启迪：由等差数列?an?的公差d是2，先求出前n项的和为Sn和通项an． [解答过程] an?a?(n?1)2?2n?2?a,Sn?na?2n(n?1)?n2?(a?1)n,
22a(2??)2?12a?n(2n?2?a)?nnn∴lim?lim?lim?3. 2n??n??n??a?1Snn?(a?1)n1?n2n222故填3 小结:
1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：
（1）各数列的极限必须存在；
（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） limC=C（C为常数）;
n??（2） lim（1）p=0（p＞0）;
n??nk（3） liman?b=a（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;
n??cnk?dc（4） limqn=0（|q|＜1）.
n??例5. (2007年重庆卷理)设正数a, b满足 解
（A）0
（B）1
4:
an?1?abn?1（ ） 则
lim(x?ax?b)?4limn?1n?2x?2n??a?2b（C）1
2（D）1
a1∵lim(x2?ax?b)?4,∴4?2a?b?4,∴?.x?2b2则lima?abx??an?1?2bnn?1n?1a1a[()n?1?1]a[()n?1?1]a1 b2?lim?lim??.x??x??an?11n?12b4()?2b()?2bb2故选B
小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：
（1）如果limf（x）=a且limf（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极
x???x???限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.
x??（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作
x?x0
当x→x0时，f（x）→a.
（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作lim?f （x）=a.如果从点x=x0右侧
x?x0（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作lim?f（x）=a.
x?x02.极限的四则运算法则：
如果limf （x）=a, limg（x）=b,那么
x?x0
x?x0x?x0
lim[f（x）±g（x）]=a±b; lim[f（x）2g（x）]=a2b; limf(x)=a（b≠0）.
x?x0
x?x0
g(x)b32例6．(2007年江西卷理) limx?x=( )
x?1x?1 A．等于0 B．等于l C．等于3 在
[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.
322[解答过程] limx?x?limx(x?1)?limx2?1.故选B
x?1D．不存
x?1x?1x?1x?1例7．(2007年四川卷理) lim
（A）0
x2?1?( )
n?12x2?x?1（B）1
（C）1
2（D）2
3[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] lim故选D
例8.若f （x）=x?1?1在点x=0处连续，则f （0）=__________________.
3x2?1(x?1)(x?1)x?12
?lim?lim?.n?12x2?x?1n?1(2x?1)(x?1)n?12x?13x?1?1思路启迪：利用逆向思维球解.
解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=limf （x）,
x?0limf （x）= limx?0x?0x?1?1 =
3limx?03x?1?1(x?1)2?3x?1?1=3.
2x?1?1答案: 3
2例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且limf （x）=0,limf （x）=－3,求这一函
x?1x??2数最大值..
思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值.
解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c. ∴b=0.∴f （x）=ax2+c.
