3c296当且仅当?2,即c?4时,|OQ|最小,此时Q(6,6)或(6,?6)，
8c6?62???1x2y2?2?a?42所以?a??2.故所求的双曲线方程为??1。 b412?a2?b2?16??b?12?类型1——求待定字母的值
x22例1设双曲线C：2?y?1(a?0)与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交
a于点P，且PA=
5PB，求a的值 12思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)
∵PA=555PB,?(x1,y1?1)?(x2,y2?1), ∴x1=x2. 121212
?x?y?1?2222
联立?x2消去y并整理得，(1－a)x+2ax－2a=0 (*) ，2?2?y?1?a2??1?a?0，∵A、B是不同的两点，∴?4 22??4a?8a(1?a)?0，
2a22a2∴0
2例2如图2 ，动直线y?kx?1与y轴交于点A，与抛物y?x?3交于不同的两点B和C, 且满足
BP=λPC， AB=λAC，其中??R.。求ΔPOA的重心Q的轨迹。
思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。
解：由??y?kx?1?y?x?32得，k2x2+(2k－1)x+4=0.
y A 6
B P C x
O ?k?011由????k?且k?0.
26???0
设P(x’,y’)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图2） 则x1+x2=
1?2k4., xx=. 1222kk由BP??PC?(x??x1,y??y1)=?(x2?x?,y2?y?)
? x??x1=?(x2?x?)
由AB??AC?(x1,y1?1)??(x2,y2?1)?x1 =?x2。
???0?x??x1x2?x?2x1x28??x???.
x1x2x1?x21?2k8k6k?1?1?. 消去k得， x’－2 y’－6=0 (*)
1?2k1?2k
?y??kx??1?
x??x???x??3x?3?? 设重心Q(x,y)，则?，代入(*)式得，3x－6y－4=0。 ??y?1y?3y?1??y??3?1148?k?且k?0?4?x??12且x??8??x?4且x? 263348故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（?x?4且x?），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点
334482A(,0),B(4,),C(,)的线段AB。 3333因为?类型3——证明定值问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB，其中?,??R.证明：?2??2为定值。
思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。
x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0). 则直线AB的方程为
aby?x?c.代入
(a2?b2)x2?2a2cx?a2c2?a2b2?0.
2a2ca2c2?a2b2,x1x2?. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?2a?b2a2?b27
由 OA?OB与a?(3,?1)共线，OA?OB?(x1?x2,y1?y2)得，
3(y1?y2)?(x1?x2)?0。又y1?x1?c,y2?x2?c,
3c2a2c3c?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,?x1?x2?,即2?,?a2?3b2. 222a?b而c2?a2?b2,于是a?232212c,b?c。 22x2y2222因此椭圆方程为2?2?1,即x?3y?3b.
3bb设M(x, y), 由OM??OA??OB得，(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2)，
?x??x1??x2且y??y1??y2.
因M为椭圆上一点，所以(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2.
222 即?2(x1?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2 ①
3c232212a2c2?a2b232,a?c,b?c，x1x2??c. 又x1?x2?222228a?b则 x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?c)(x2?c)?4x1x2?3(x1?x2)c?3c2
?3292222222c?c?3c2?0. 而x1?3y1?3b,x2?3y2?3b, 22代入①得，?2??2=1，?2??2为定值。
类型4——探索点、线的存在性
例4在△ABC中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD 所成的比为设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使1。31|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列，为什么？
思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。
解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知A(x,4y) 34y)(x?2,y)?0， ∵H为垂心 ∴AC⊥BH，∴(x?2,3x2y2??1(y?0)。 整理得，动点H的轨迹方程为 438
|HP|?(x?1)2?y2 ， |PQ|?2， |HQ|?(x?1)2?y2。
假设1|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列，则2|PQ|?1|HP|?1|HQ|
即
1(x?1)?y22?1(x?1)?y22?1 ①
∵H在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P、Q是焦点，
2222∴HP?HQ?2a?4，即∴(x?1)?y?(x?1)?y?4 ②
2222由①得，(x?1)?y?(x?1)?y?(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4 ③
22联立②、③可得，(x?1)?y?(x?1)2?y2?2，
x2y2??1， ∴x?0,y??3,显然满足H点的轨迹方程43故存在点H（0，±3），使1|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列。
类型5——求相关量的取值范围
例5给定抛物线C：y2?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且
FB??AF,???4,9?，求l在y轴上截距的变化范围。
思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由FB??AF得，(x2?1,y2)??(1?x1,?y1)，即
?x2?1??(1?x1)??y2???y1①②2 由②得，y2??2y12.
2?4x2,?x2??2x1③ 。 联立①、③得，x2??。 ?y12?4x1,y2而??0,?B(?,2?),或B(?,?2?).当直线l垂直于x轴时，??1,不符合题意。
?(x?1)或(??1)y??2?(x?1).
因此直线l的方程为(??1)y?2直线l在y轴上的截距为
2?2?2?2?22或?知，在???4,9?上递减的，.由????1??1??1??1??1??1所以
42?332?4??. ??,???3??144??139
于是直线l在y轴上截距的变化范围是??,????,?.
?34??43??43??34?y2存在、向量例6、双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右顶点为A，x轴上存在一点Q?2a,0?，若C上
ba存在一点P使AP?PQ，求离心率的取值范围。
x23?a2?2解：?PA?PQ?P点的轨迹方程为?x?a??y?，
2?4?即
2y??x?3ax?2a222?b2x2?a2y2?a2b2(x?a且x?2a)。由?222?y??x?3ax?2a，消去y得
b2x2?a2?x2?3ax?2a2?a2b2?0即a2?b2x2?3a3x?2a4?a2b2?0 ??x?a?a?bx?a2a?b222????????2??a2a2?b2a3a2?c2?3??0,?x?a,?x???a?1??2a2?b2c2e??????x2y26?3??P在双曲线2?2?1的右支上，?x?a,?a?2?1??a,解得〈 1e?2ab?e?定值问题例7：A,B是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，满足OA?OB（O为坐标原点），求证：（1）
A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB经过一定点。
分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12?2px1,y22?2px2?(y1y2)2?4p2x1x2
????????????????又由 OA?OB?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0 ?x1x2?4p2,y1y2??4p2
（2）y1?y2?2p(x1?x2)?KAB?22y1?y22p ?x1?x2y1?y2直线AB的方程为y?y1?2px12p2p(x?x1)?y?x??y1
y1?y2y1?y2y1?y2y12?2px1?y1y22p2p?x??(x?2p)，故直线过定点(2p,0)。 y1?y2y1?y2y1?y2题型六：面积问题
x2y26,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题1、已知椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的离心率为
ab3（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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