·线性代数练习册·[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.4线性方程组的解
1. 选择题
(1)设A是m?n矩阵,Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ). A. 若Ax?0仅有零解,则Ax?b有唯一解
B. 若Ax?0有非零解,则Ax?b有无穷多个解 C. 若Ax?b有无穷多个解,则Ax?0仅有零解 D. 若Ax?b有无穷多个解,则Ax?0有非零解, (2)对非齐次线性方程组
班级： 姓名： 学号：
?2x?y?z?w?1? (2) ?4x?2y?2z?w?2
?2x?y?z?w?1?Am?nx?b,设R(A)?r,则( ).
A.r?m时,方程组Ax?b有解 B.r?n时,方程组Ax?b有唯一解 C.m?n时,方程组Ax?b有唯一解 D.r?n时,方程组Ax?b有无穷多解
2. 解下列方程组:
?x1?2x2?x3?x4?0? (1)?3x1?6x2?x3?3x4?0
?5x?10x?x?5x?0234?1
?(2??)x1?2x2?2x3?1?3. 设 ?2x1?(5??)x2?4x3?2
??2x?4x?(5??)x????1123?问?为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其
通解.
11
·线性代数练习册·[第四章] 向量组的线性相关性
§4.1向量组及其线性组合
1. 设v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T，求v1?v2及3v1?2v2?v3. 班级： 姓名： 学号：
3. 已知??(5,0,7)T,?1?(1,?1,0)T,?2?(2,1,3)T,?3?(3,1,2)T求?被?1,?2,?3表示的线性组合.
2. 已知向量组A: a1?(0,1,1)T, a2?(1,1,0)T ; b3?(3,2,?1)T. 证明A组与B组等价.
B: b1?(?1,0,1)T,b2?(1,2,1)T
4 已知R(a1,a2,a3)?2,R(a2,a3,a4)?3，证明 （1）a1能由a2,a3线性表示 ； （2）a4不能由a1,a2,a3线性表示 .
12
·线性代数练习册·[第四章] 向量组的线性相关性
§4.2 向量组的线性相关性
1. 判断下列命题是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”
班级： 姓名： 学号：
2. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，?1??1?t?2,?2??2?t?3,
?3??3?t?4,?4??4?t?1,讨论t满足何关系时，?1,?2,?3,?4是线性无关的.
（ ）(1)若?1,?2,?,?r是一组线性相关的n维向量，那么对于任意不全为0的
数k 1,k2,?,kr，都有k1?1?k2?2???kr?r?0;
（ ）(2) 若? 1,?2,?,?r是一组线性无关的n维向量，那么对于任意不全为0
的数k 1,k2,?,kr，都有k1?1?k2?2???kr?r?0;
（ ）（3）若向量组? 1,?2,?,?r(r?2)是线性相关的，则其中任何一个向量都
可由其余向量线性表示;
（ ）（4）若向量组?
1,?2,?,?r(r?2)中任取m个向量(m?r)所组成的部分向
量组都线性无关，那么这个向量组本身是线性无关的;
4 . 已知向量组?1,?2,?,?n线性无关，且?1??1,?2??1??2 , （ ）（5）若向量组?1,?2,?,?m线性相关，则?m可由?1,?2,?,?m?1线性表示;
证明：向量组?1,?2,?,?n 线性无关 .
（ ）（6）若向量组?1,?2,?,?m中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，
则向量组? 1,?2,?,?m线性无关;
（ ）（7）设?1,? 2,?,?m为一个向量组，若对于任意不全为0的数k1,k2,?,km都
有k 1?1?k2?2???km?m?0，则向量组?1,?2,?,?m线性无关.
2.判断向量组a1?(1,0,1)T,a2?(1,2,3)T,aT 3?(2,3,1)的线性相关性.
13
n?,?n???k.
k?1·线性代数练习册·[第四章] 向量组的线性相关性
§4.3向量组的秩
班级： 姓名： 学号：
3.设向量组(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T的秩为2，求a,b. 1. 利用矩阵的初等行变换求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组，并把 不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示:
?2?1?112?? A??11?214? ??4?62?24??; ?36?979??
4.
2. .向量组α 1,α2,α3线性相关，向量组α2,α3,α4线性无关，求向量组α1,α2,α3,α4 的秩，并说明理由.
14
设向量组A:α1,α2,,αr的秩为r1；向量组B:β1,β2,,βn的秩为r2；向C:α1,α2,,αr,β1,β2,,βn的秩为r3，则有max(r1,r2)?r3?r1?r2.
量组
·线性代数练习册·[第四章] 向量组的线性相关性
§4.4线性方程组的解的结构
1.选择题
（1）设m?n矩阵A的秩为R?A??n?1，且?1,?2是齐次方程AX?0的两个不同的解，则AX?0的通解为（ ）；
（A）k?1, k?R （B）k?1, k?R （C）k??1??2?, k?R （D）k??1??2?, k?R
（2）已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是AX?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则AX?b的通解为（ ）； （A）k1?1?k2??1??2?? （B）k1?1?k2??1??2???1??22班级： 姓名： 学号：
?x1?5x2?2x3?3x4?11?2. 求非齐次线性方程组?5x1?3x2?6x3?x4??1的通解.
?2x?4x?2x?x??6234?1
3. 设有n个方程n个未知数的齐次线性方程组
?ax1?bx2?bx3??bx?ax?bx??123????bx1?bx2?bx3??bxn?0,?bxn?0,?axn?0,
?1??22 （C）k1?1?k2??1??2?? （D）k1?1?k2??1??2???1??222其中a?0,b?0,n?2,讨论a,b为何值为时,方程组仅有零解,有无穷多个解？ 在有无穷多个解时,求其通解.
?1??2
?x1?8x2?10x3?2x4?0?2. 求齐次线性方程组?2x1?4x2?5x3?x4?0的一个基础解系.
?3x?8x?6x?2x?0234?1
15
