2.2指数函数与对数函数的应用
目标认知： 学习目标：
能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题．
学习重点：
运用函数有关理论，解决综合问题．
学习难点：
指数函数与对数函数综合应用．
典型例题：
例1．设( ) A．
，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则
B．2 C．
，函数
D．4 在区间
上的最大值与最小值分别为
【解析】设
例2．函数 A．
，，它们的差为，∴ ，，选D．
的反函数的定义域为( )
B．(1，9] C．(0，1) D．
【解析】函数为(1，9]，
∴ 选B．
例3．若
的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域
，则下列结论正确的是( )
A． B． C．
D．
【解析】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确．
例4．函数
的值域为
A． 答案：A
例5．若函数( )
是函数
的反函数，且
，则
B．
C．
D．
A． 答案：A
B． C． D．
【解析】函数
，
所以，a=2，故
例6．设 A． 答案：A 【解析】∵
， B．
，
的反函数是，又，即
，选A．
，则
D．
C．
， ∴ ∴
， ∴
．
例7．设 则________
答案：．
【解析】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算．
例8．已知函数 A． 答案：C
B．
．若
，a＜b且
，则
D．
的取值范围是
C．
【解析1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令 由“对勾”函数的性质知函数 所以
在
，
上为减函数，
．
，即a+b的取值范围是
【解析2】由0＜a＜b，且 化为求
得：
的取值范围问题，
，利用线性规划得：，
2，
∴ C
例9．若函数
可以是 A．
的零点与
，过点(1，1)时z最小为
的零点之差的绝对值不超过0.25，则
B． C．
D．
答案：A
【解析】的零点为，的零点为，
的零点为，的零点为．
现在我们来估算的零点，因为，，
所以的零点，
又函数 只有
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25，
的零点适合，故选A．
例10．函数的图像大致为（ ）．
【解析】函数有意义，需使
，其定义域为
，排除C，D，
又因为 故选A．
答案：A．
，所以当时，函数为减函数，
例11．设 A．D．
答案：B
，则 B．
的定义域为( )
C．
【解析】 解得
例12．若函数________． 答案：
的定义域是(-2，2)，故应有
或
，故选B．
且，
(且)有两个零点，则实数a的取值范围是
(
且
)和函数
，
【解析】设函数
则函数 就是函数 由图象可知，当 当 而直线
时，因为函数
(
(且
且)与函数
)有两个零点，
有两个交点，
时，两函数只有一个交点，不符合；
(
)的图象过点（0，1），
所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，就一定有两个交点．
．
所以实数a的取值范围是
【命题立意】 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性
质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答．
例13．设
，
，函数
有最大值，则不等式
的解集为________．
【解析】设有最小值，
，
，函数
有最大值，∵
∴
，
，则不等式的解为，解得
所以不等式的解集为(2，3)．
例14．求函数的增区间和减区间．
【解析】令，∴ ，y对u而言是减函数．
∴ 当时，u对x为减函数，∴ y对x为增函数．
当时，u对x为增函数，∴ y对x为减函数．
∴ 的增区间为，减区间为．
