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及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性，由f??x??0，得函数单调递增，f??x??0得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为a?h?x?或a?h?x?恒成立，即a?hmax?x?或a?hmin?x?即可，利用导数知识结合单调性求出hmax?x?或hmin?x?即得解. 8．（1）见解析；（2）当0?m?1时，有两个零点；当m?1时；有且仅有一个零点． 【解析】
x3试题分析：（1）首先将m?1代入函数解析式，然后令g?x??f?x??，再通过求导得
3到g?x?的单调性，从而使问题得证；（2）首先求得f?(x)，然后求得f?(x)?0时x的值，再对m分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零点的个数．
x3?x3试题解析：（1）当m?1时，令g?x??f?x??（?1?x?0），则g??x??，
31?x当?1?x?0时，?x3?0，1?x?0，?g??x??0，此时函数g?x?递增，
x3?当?1?x?0时，g?x??g?0??0，当?1?x?0时，f?x??………①
3??1??mx?x??m???m??1??（2）f??x??………②，令f??x??0，得x1?0，x2?m?，
m1?mxx2（i）当m?1时，x1?x2?0，由②得f??x??……③
1?x?当x??1时，1?x?0，x2?0，?f??x??0，此时，函数f?x?为增函数， ??1?x?0时，f?x??f?0??0，f?0??0，x?0时，f?x??f?0??0，
故函数y?f?x?，在x??1上有且只有一个零点x?0； （ii）当0?m?1时，m?由②知，当x???111?0，且??m?， mmm1?1??1?,m??，1?mx?0，mx?0，x??m???0，
m?m??m?答案第14页，总18页
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此时，f??x??0；同理可得，当x??m???1?,0?，f??x??0；当x?0时，f??x??0； m?11?1??和，减区间为0,???,m?m?,0? ?函数y?f?x?的增区间为???????mm??m?故，当m?1?x?0时，f?x??f?0??0，当x?0时，f?x??f?0??0 m??函数y?f?x?，x???m?,???有且只有一个零点x?0；
????1?1?21?1?1?2，构造函数?lnm?m??t?lnt???????t??，0?t?1，则
m?2?m2?2?t?21m又f?m?11?1???t?1?……④，易知，对?t??0,1?，???t??0，?函数???t????1?2??2t2?t?ty???t?，
0?t?1为减函数，???t????1??0
2由0?m?1，知0?m?1，?f?m???1?1?21?2?lnm?????m?2??0……⑤ m?2?m?1?x，当0?x?1时，当x?1 k??x??0，x构造函数k?x??lnx?x?1（x?0），则k??x??时，k??x??0，减区间为?1,???， ?函数y?k?x?的增区间为?0,1?，?k?x??k?1??0，
?2?1111?有ln2?2?1?2?1，则em?m2，
mmm1?e?1m2?1?1m?m?11e?11，当??x?时，ln?1?mx???2?1……⑥
mmmm?1m2?1x21?mx?x2?mx?2?1……⑦ 而2mx211?mx??2?1?2?1?0……⑧ 由⑥⑦知f?x??ln?1?mx??2mm1em?11??1又函数y?f?x?在??,m??上递增，m??
mmm??m?12?1答案第15页，总18页
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?1m2?1?由⑤⑧和函数零点定理知，?x0???,?，使得f?x0??0
?mm?x2?mx有两个零点， 综上，当0?m?1时，函数f?x??ln?1?mx??2综上所述：当0?m?1时，函数y?f?x?有两个零点， 当m?1时，函数y?f?x?有且仅有一个零点．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系．
【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则．
9．(1)证明见解析；(2)???,4?.
【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助题设条件运用导数的有关知识求解. 试题解析： （1）
a?1?2e?1,T?x??F?x??f?x?,?T?x??2ex?1?lnx?2e?1x?2e?1?2.
1?x?0,T'?x??2ex?1?2e?1?.2ex?1?2e?1关于x单调递增,
x11x?0,T'?x??2ex?1?2e?1???0,?T?x?在?0,???上单调递增.
xx11x?1x?1（2）设H?x??F?x??f?x?,则H'?x??2e?1??a.设h?x??2e?1??a,
xx11x?1x?1则h'?x??2e?2.x?1,?2e?2,?2??1,h'?x??1.?h?x?在?1,???内单调递
xx增.
?当x?1时,h?x??h?1?. 即H'?x??4?a,?当a?4时,H'?x??4?a?0. ?当a?4时, H?x?在?1,???内单调递增. ?当a?4,x?1时,H?x??H?1?, 即F?x??f?x?.x?1,?H'?x??2ex?1?1?1?a?2ex?1?2?a.当a?4时, 由x 2ex?1?2?a?0得
?a?2ex?1?2?a关于x单调递增, ?当a?4,1?x?1?ln??1?时, H?x?单调递减. 设
?2?答案第16页，总18页
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?a?x0?1?ln??1?,则H?x0??H?1??0,即F?x0??f?x0?.
?2??a??当a?4时,?x0?1?ln??1??1,F?x0??f?x0? 不成立.
?2?综上, 若?x?1,F?x??f?x?,a的取值范围???,4?.
考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数T?x??F?x??f?x?在
?0,???上单调递增；第二问中借助导数,运用导数求在不等式?x?1,F?x??f?x?恒成立
的前提下实数a的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.
10．（1）?1（2）a??1时，增区间(0,??)，a??1时，减区间0,ln??a?，增区间
???ln??a?,???（3）a?1
【解析】
试题分析：（1）先求f?x?,f'?x?，根据导数的符号判断函数f（x）在[-1，1]的单调性，
从而求出f（x）的最小值；（2）先求f′（x），讨论a，判断导数符号，从而得出函数f（x）
f?x1??af?x2??a在（0，+∞）上的单调性；（3）将不等式变形为：，所以令?x1x2g?x??f?x??a，从而得到g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以g′（x）＞0，所以xxex?ex?2?a?0，为了求a的范围，所以需要求xex?ex的范围，可通过求导数，根据
xx单调性来求它的范围，求得范围是xe?e??1，所以2-a≥1，所以求得a的范围
试题解析：（1）当a=-1时，f(x)=e-x+2, f?(x)?e?1,
x
x令f?(x)?0?x?0；令f?(x)<0?x<0
因为x?[?11]，，所以f(x)在[?1，0]单调递减；f(x)在[0，1]单调递增。?f最小值(x)=（f0）=?1
（2）f?(x)?ex?a
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①当a??1时，因为x??，ex?1，所以f,(x)?ex?a?0恒成立，?函数f(x)在（0，+?）上单调递增
②当a??1时，即ln(?a)?0，令f,(x)?0?x?ln(?a), 令f,(x)?0?x?ln(?a),
因为x?0?f(x)在（0，ln(?a)）上单调递增,在（ln(?a)，+?）上单调递减。
1a?-1时，函数f(x)在（0，+?）上单调递增 综上所述：（）当
（2）当a??1时，函数f(x)在（0，ln(?a)）上单调递减，在?ln??a?,???上
单调递增
（3）x1,x2?(0,??),且x1?x2,都有x2f(x1)?a?x1f(x2)?a成立，
????即?f(x1)?a???f(x2)?a?成立，
x1x2
构造函数
h(x)?f(x)?a,?x1?x2都有h(x1)?h(x2) x ?h(x)在（0，+?）单调递增，?h，(x)?0在（0，+?）恒成立。xx即xe?e?2?a?0在?0,???恒成立
ex?ax?2?aex?2?ah(x)???axx xxxe?e?2?a?h，(x)??0在（0，+?）恒成立。x2xx即a?2?xe?e恒成立，令g?x??xe?exx?x?0?
则g，(x)?xex，x?0,?g，(x)?0
?g(x)在（0，+?）单调递增，?g(x)?g(0)=?1
∴ a-2≤-1 ∴ a≤1
考点：利用导数求闭区间上函数的最值，单调性
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