1．设函数（1）当（2）若函数
时，函数
与
． 在
处的切线互相垂直，求的值；
的取值范围；
在定义域内不单调，求
（3）是否存在正实数，使得
满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数（1）讨论（2）当（3）当
的单调性； 时，证明：时，判断函数
；
是
对任意正实数恒成立？若存在，求出
的导函数，为自然对数的底数．
零点的个数，并说明理由．
3．已知函数（1）当（2）当
时，若
（其中，）.
在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
时，不等式
恒成立，如果存在，
）.
时，是否存在实数，使得当
求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，4．已知函数（1）讨论函数
，其中为常数.
的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 是
5．已知函数区间
上的减函数.
（为常数）是实数集上的奇函数，函数
（1）求的值； （2）若
在
及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数.
试卷第1页，总2页
6．已知函数f?x??ax?lnx,F?x??ex?ax，其中x?0,a?0.
（1）若f?x?和F?x?在区间?0,ln3?上具有相同的单调性，求实数a的取值范围； （2）若a????,?最小值.
7．已知函数f(x)?ex?m?lnx.
（1）如x?1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单调性f(x)；
（2）若x?x0是函数f(x)的极值点，且f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围（注：已知常数a满足alna?1）.
??1?，且函数g?x??xeax?1?2ax?f?x?的最小值为M，求M的2?e?x2?mx，其中0?m?1． 8．已知函数f?x??ln?1?mx??2x3（1）当m?1时，求证：?1?x?0时，f?x??；
3（2）试讨论函数y?f?x?的零点个数． 9．已知e是自然对数的底数,F?x??2ex?1?x?lnx,f?x??a?x?1??3.
?1（1）设T?x??F?x??f?x?,当a?1?2e时, 求证：T?x?在?0,???上单调递增； （2）若?x?1,F?x??f?x?,求实数a的取值范围. 10．已知函数f?x??e?ax?2
x（1）若a??1，求函数f?x?在区间[?1,1]的最小值； （2）若a?R,讨论函数f?x?在(0,??)的单调性； （3）若对于任意的x1,x2?(0,??),且x1?x2,
求a的取值范围。 都有x2?f(x1)?a??x1?f(x2)?a?成立，试卷第2页，总2页
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参考答案
1．（1）【解析】
;（2）；（3）．
试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，
可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与
在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．
(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，
在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小
值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)
令，可得，令，则
，所以在区间内单调递减，且在区间内必存
在实根，不妨设间
，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区
内单调递减，
∴，，将(*)式代入上式，得．使
得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再
根据基本不等式的性质，即可求出结果． 试题解析：
答案第1页，总18页
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(1)当时，，
∴在处的切线斜率，
由，得，∴
的定义域为
，∴
，
．
(2)易知函数
又，
由题意，得∴
的最小值为负，
．(注：结合函数
图象同样可以得到)，
∴∴
，∴
；
(3)令，其中，
则，
则，
则∴
在区间
， 内单调递减，且
在区间
内必存在实根，不妨设
，
即则
在区间
，可得
内单调递增，在区间
，(*)
内单调递减，
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∴，，
将(*)式代入上式，得．
根据题意恒成立，
又∵，当且仅当时，取等号，
∴，
∴，代入(*)式，得，
即，又，
∴，∴存在满足条件的实数，且．
点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数围.
，利用
恒成立
；
恒成立
，即可求出参数范
2．（1）①当时， 在上为减函数；②当时， 的减区间为，增区
间为【解析】
；（2） 证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.
试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导，当时，，故在
上为减函数；当根据
时，解可得，故
，
的减区间为
，当
，增区间为
时，
；（2），所以
，构造函数，设
是增函数，
，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函
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