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课时达标检测（二十六） 平面向量的数量积及其应用
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 平面向量的数量积
1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接―→―→
DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
5
A．－
81C. 4
1B. 811D. 8
―→―→―→―→―→
解析：选B 如图所示，AF·BC＝(AD＋DF)·BC＝1―→3―→―→3―→―1―→→→―→3?－1―BA＋ DE?·BC＝?－BA＋ AC ?·BC＝－BA·BC＋
24?2??2?24131―→―→
AC·BC＝－＋＝.
488
2．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC―→―→
＝2BE，CD＝λCF.若AE·BF＝－9，则λ的值为( )
A．2 C．4
B．3 D．5
―→―→―→1―→―→―→―→1―→―→―→
解析：选B 依题意得AE＝AB＋BE＝BC－BA，BF＝BC＋BA，因此AE·BF
λ21―11→―→?1―→1―→―→―→?1－1?BC―→＋BA―→ ?＝BC2－BA2＋?－1?BC·＝?2 BC－BA ?·BA，于是有λ?2?2λ??2λ????λ1
－1?×62×cos 60°＝－9.由此解得λ＝3，故选B. ×62＋??2λ?
3．(2018·嘉兴一模)如图，B，D是以AC为直径的圆上的两点，―→―→
其中AB＝t＋1，AD＝t＋2，则AC·BD＝( )
A．1 C．t
B．2 D．2t
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A 因为BD＝AD－AB，所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－―→―→―→―→―→―→AC·AB＝|AC|·|AD|cos∠CAD－|AC|·|AB|cos∠CAB.又AC为圆的直径，所以连接BC，―→―→
|AD||AB|π―→―→―→
DC(图略)，则∠ADC＝∠ABC＝，所以cos∠CAD＝―，cos∠CAB＝，则AC·BD＝|AD→―→2
|AC||AC|
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|2－|AB|2＝t＋2－(t＋1)＝1，故选A.
3π
4．(2018·广西质检)已知向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________.
4解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×2×2×－答案：6
5．(2018·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝―→―→―→―→2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________.
解析：由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，―→―→―→―→C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.
答案：4
对点练(二) 平面向量数量积的应用
1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( ) A．0 C．2
解析：选D |a－b|＝?a－b?2＝
B．1 D.5 a2－2a·b＋b2＝
1＋4＝5.
?
?2?＝6. 2?―→―→―→―→
2．(2018·云南民族中学一模)已知向量AB＝(x,1)(x>0)，AC＝(1,2)，|BC|＝5，则AB，―→
AC的夹角为( )
2πA. 3πC. 4
πB. 6πD. 3
―→―→―→―→
解析：选C 因为BC＝AC－AB＝(1－x,1)，所以|BC|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x―→―→AB·AC2―→―→
－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设AB，AC的夹角为θ，则cos θ＝＝，所
―→―→2|AB||AC|π
以θ＝.故选C.
4
3．(2018·广东五校协作体一模)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为( )
A．－1 C．1
B．2 D．－2
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解析：选A 根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.
4．已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( ) A．－3 C．1
B．－2 D．－1
解析：选A 因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.
5．(2017·吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为( )
A.6 C.2
B.3 D．1
|a|2＋|b|2
解析：选A 由题意可知－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤，即|a|2
2＋|b|2≥4，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥6，所以|a－b|的最小值为6.
6．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[2－1，2＋1] C．[2，3 ]
B．[1，2 ] D．[2－1,1]
解析：选A 法一：因为a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝2.所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c.当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos 0°＝2，|a＋b－c|2＝3－22＝(2－1)2，所以|a＋b－c|min＝2－1；当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cos π＝－2，|a＋b－c|2＝3＋22＝(2＋1)2，所以|a＋b－c|max＝2＋1.所以|a＋b－c|的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A.
法二：由题意不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)．则a＋b－c＝(1
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－cos θ，1－sin θ)，|a＋b－c|＝?1－cos θ?2＋?1－sin θ?2＝
πθ＋?，令t＝33－22sin??4?
π
θ＋?，则3－22≤t≤3＋22，故|a＋b－c|∈[2－1，2＋1]． －22sin??4?
对点练(三) 平面向量与其他知识的综合问题
sin A―→―→―→―→―→―→1．(2018·丰台期末)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为
sin C( )
A.2 C.2 2
1B. 2D.3 2
―→―→―→―→
解析：选A 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由BC·BA＋2AC·ABa2＋c2－b2b2＋c2－a2a2＋b2－c2―→―→＝CA·CB，得ac×＋2bc×＝ab×，化简可得a＝2c.由正
2ac2bc2absin Aa
弦定理得＝＝2.
sin Cc
―→―→
2．(2018·吉林质检)已知A(－2,0)，B(2,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则动点P的轨迹为( )
A．椭圆 C．抛物线
B．双曲线 D．两条平行直线
―→―→解析：选D 因为动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，所以(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2，所以点P的轨迹方程为y2＝4，即y＝±2，所以动点P的轨迹为两条平行的直线．
x22―→―→―→―→3．已知点M(1,0)，A，B是椭圆＋y＝1上的动点，且MA·MB＝0，则MA·BA的取
4值范围是( )
2?A.??3，1? 2?C.??3，9?
B.[1，9] D.
?6，3?
?3?
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选C 由MA·MB＝0，可得MA·BA＝MA·(MA－MB)＝MA2, 设A(2cos α，sin 222―→
cos α－?2＋，α)，则MA2＝(2cos α－1)2＋sin2α＝3cos2α－4cos α＋2＝3?所以当cos α＝时，3?3?32?2―→―→―→―→
MA2取得最小值，当cos α＝－1时，MA2取得最大值9，故MA·BA的取值范围为??3，9?. 3
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―→―→―→―→―→―→
4.已知点G是△ABC的外心， GA，GB， GC是三个单位向量，且2GA＋AB＋AC＝0，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，如图所示，点―→
O是坐标原点，则|OA|的最大值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
―→―→―→
解析：选B 因为点G是△ABC的外心，且2GA＋AB＋AC＝0，所以点G是BC的―→―→―→
中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．又GA，GB，GC是三个单位向量，所以BC＝2，又△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，在Rt△BOC1
中，OG是斜边BC上的中线，则|OG|＝|BC|＝1，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为
2―→―→
半径的圆弧．又|GA|＝1，所以当OA经过BC的中点G时，|OA|取得最大值，且最大值为―→
2|GA|＝2.
5．已知a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且对任意的实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则tan 2θ＝________.
―→
解析：如图所示，当(a＋b)⊥b时，对任意的实数x，a＋xb＝OA―→
或a＋xb＝OB，因为在直角三角形中，斜边大于直角边恒成立，数形结合知，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，因为(a＋b)⊥b，a，b满足
2×?－2?
|a|＝3，|b|＝1，所以(a＋b)·b＝0，a·b＋b2＝0，tan θ＝－2，tan 2θ＝＝22.
1－?－2?2
答案：22
[大题综合练——迁移贯通]
1．(2018·江西南昌三校联考)已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(3，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n.
(1)求角A的大小； (2)若a＝2，cos B＝
3
，求b的值． 3
解：(1)∵m⊥n，∴m·n＝3sin A＋(cos A＋1)×(－1)＝0，
